Polinômios e Equações Polinomiais - 10

por Fábio Leite Da Silva Araú Qui 21 Out 2021, 14:39

10- As raízes do polinômio p(x) = x³ − 7x² + 14x − 6 são comprimentos dos lados
de um triângulo. Calcule a área desse.

por **qedpetrich** Qui 21 Out 2021, 15:23

Olá Fábio;

Como temos coeficiente 1 para x³, os candidatos para raízes são os números da fatoração de -6, logo:

-6 = (-1,1,-2,2,-3,3)

Fazendo o teste para p(3) = 3³ - 7(3)² + 14(3) - 6 = 27 - 63 + 42 - 6 = 0.

Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:

$Polinômios e Equações Polinomiais - 10 Png$

Temos que q(x) = x² - 4x + 2, calculando as raízes de q(x), ou seja q(x) = 0:

$Polinômios e Equações Polinomiais - 10 Png$

Podemos evidenciar que trata-se de um triângulo com todos os lados diferentes, logo, recorrendo à fórmula de Heron:

$Polinômios e Equações Polinomiais - 10 Png$

Onde p = (a+b+c)/2 e sendo a,b e c os respectivos lados:

$Polinômios e Equações Polinomiais - 10 Png$

Aplicando na fórmula:

$Polinômios e Equações Polinomiais - 10 Png.latex?%5C%5C%5C%5C%20%5C%5C%20A%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D-%282+%5Csqrt%7B2%7D%29%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D-%282-%5Csqrt%7B2%7D%29%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D-3%20%5Cright%20%29%7D%20%5C%5C%5C%5C%20%5C%5C%20A%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%5Cleft%20%28%20%5Cleft%20%28%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D-%5Cleft%20%28%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B7-6%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%7D%20%5C%5C%5C%5C%20%5C%5C%20A%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D-2%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%20%5Cright%20%29%7D%20%5C%20%5Ctherefore%20%5C%20%5Cboxed%7BA%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D%5C%20u.a$

Se não cometi nenhum equívoco, creio que seja isto. Sem o gabarito nada posso afirmar. Espero ter ajudado!