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Polinômios e Equações Polinomiais - 20

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Mensagem por Fábio Leite Da Silva Araú Qui 21 Out 2021, 14:45

20- Sejam a, b e c números inteiros tais que a + b + c = 0. Prove que a expressão 2a^4 + 2b^4 + 2c^4
representa um quadrado perfeito.

Polinômios e Equações Polinomiais - 20 0016


Última edição por Fábio Leite Da Silva Araú em Qui 21 Out 2021, 18:59, editado 1 vez(es)

Fábio Leite Da Silva Araú
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Polinômios e Equações Polinomiais - 20 Empty Re: Polinômios e Equações Polinomiais - 20

Mensagem por SilverBladeII Qui 21 Out 2021, 18:31

só uma dica, a representação de potencia seria 2a^4+2b^4+2c^4

fatoraçãozinha: [latex]a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2=-(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex]
(perceba que essa é expressão é muito parecida com a formula de Heron sem substituir a soma por 2p)


Mas como a+b+c=0, resta que
[latex]a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2[/latex]



mas então, veja que 
(a+b+c)²=0, portanto
a²+b²+c²=-2ab-2ac-2bc
e, por fim, elevando dos doislados ao quadrado,
[latex](-2ab-2ac-2bc)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2=2a^4+2b^4+2c^4[/latex]


como ab+ac+bc é inteiro, temos o que queriamos
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Polinômios e Equações Polinomiais - 20 Empty Re: Polinômios e Equações Polinomiais - 20

Mensagem por Fábio Leite Da Silva Araú Qui 21 Out 2021, 18:58

Obrigado pela dica e a resposta. Polinômios e Equações Polinomiais - 20 1f600

Fábio Leite Da Silva Araú
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