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Área do Triângulo

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Mensagem por LuquITA Qui 14 Out 2021, 13:47

São dadas as retas (r): y = 2x + 3 e (s): y = -3x - 2, que se cortam em A. Pelo ponto B(2; 2) passa uma reta t que corta r no ponto C e s no ponto D. Determine a equação de t, sabendo que a área do triângulo ACD é igual a 20.
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Mensagem por Victor011 Sex 15 Out 2021, 12:52

Olá LuquITA! Área do Triângulo  1f600

Encontrando primeiro o ponto A:

[latex]\\\;\bullet\;\left\{\begin{matrix} y = 2x + 3\\ y = -3x - 2 \end{matrix}\right.\\\rightarrow \left\{\begin{matrix} y = 2x + 3\\ 0 = -5x - 5 \end{matrix}\right.\rightarrow x=-1\;\;e\;\;y=1\rightarrow \boxed{A=(-1,1)}[/latex]

Parametrizando a reta t, que passa pelo ponto B = (2,2), teremos:

[latex]\\t:\;(y-2)=m.(x-2)\;\rightarrow\;\boxed{t:\;y=mx+2-2m}[/latex]

Agora, podemos encontrar C e D em função do parâmetro m:

[latex]\\\;\bullet\;\left\{\begin{matrix} y = 2x + 3\\y=mx+2-2m \end{matrix}\right.\\\rightarrow \left\{\begin{matrix} y = 2x + 3\\ 0 = (m-2)x - 2m-1 \end{matrix}\right.\rightarrow x=\frac{2m+1}{m-2}\;\;e\;\;y=\frac{7m-4}{m-2}\\\\\rightarrow \boxed{C=\left (\frac{2m+1}{m-2},\frac{7m-4}{m-2}\right )}\\\\ \\\;\bullet\;\left\{\begin{matrix}y=mx+2-2m\\ y = -3x - 2 \end{matrix}\right.\\\rightarrow \left\{\begin{matrix} 0 = (m+3)x + 4-2m\\y = -3x - 2 \end{matrix}\right.\rightarrow x=\frac{2m-4}{m+3}\;\;e\;\;y=\frac{6-8m}{m+3}\\\\\rightarrow \boxed{D=\left (\frac{2m-4}{m+3},\frac{6-8m}{m+3}\right )}\\\\[/latex]

Por fim, vamos utilizar a informação de que a área entre os 3 pontos é 20 para encontrar m:

[latex]\\Det = \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1\\ x_C & y_C & 1\\ x_D & y_D & 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1\\ \frac{2m+1}{m-2} &\frac{7m-4}{m-2} & 1\\ \frac{2m-4}{m+3} & \frac{6-8m}{m+3} & 1 \end{vmatrix}\\\\=\frac{4-7m}{m-2} + \frac{2m-4}{m+3} + \frac{2m+1}{m-2}\cdot \frac{6-8m}{m+3}- \frac{2m-4}{m+3} \cdot \frac{7m-4}{m-2} + \frac{6-8m}{m+3} - \frac{2m+1}{m-2}\\\\ =\frac{3-9m}{m-2}+\frac{2-6m}{m+3}+\frac{-30m^2+40m-10}{(m+3)(m-2)}\\\\ =\frac{-9m^2-24m+9}{(m+3)(m-2)}+\frac{-6m^2+14m-4}{(m+3)(m-2)}+\frac{-30m^2+40m-10}{(m+3)(m-2)}=\frac{-45m^2+30m-5}{m^2+m-6}\\\\ \rightarrow S = \frac{1}{2}|Det| = 20\rightarrow \left | \frac{-45m^2+30m-5}{m^2+m-6} \right | = 40\\\\ \bullet\; \frac{-45m^2+30m-5}{m^2+m-6} = 40\rightarrow 85m^2+10m-235=0\\\\ \rightarrow \boxed{m = \frac{-10 \pm\sqrt{100+4\cdot 85\cdot 235}}{170}=\frac{-1 \pm 20\sqrt{2}}{17}}\\\\ \bullet\; \frac{-45m^2+30m-5}{m^2+m-6} = -40 \rightarrow 5m^2-70m+245=0\\\\ \rightarrow \boxed{m = \frac{70 \pm\sqrt{70^2-4\cdot 5\cdot 245}}{10}=7}\\\\[/latex]

Portanto, como temos 3 possibilidades de m, teremos 3 possíveis retas t que satisfazem as condições do problema.
Para encontrá-las, basta substituir m na equação t: y=mx+2-2m. Deixo essa conta final para você.
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