Testes-FME-composta-domínio

(U.F.MG-87) Sejam f e g funções reais de variável real dadas por [latex]f(x)=\frac{x-1}{x+2}[/latex]  e    [latex]g(x)=\frac{1}{x(x-2)}[/latex]. O maior subconjunto dos números reais onde pode ser definida a composta gof é:

[latex]\\a)\;\mathbb{R}-\left \{ -5,1 \right \} \\b)\;\mathbb{R}-\left \{ -5,-2,1 \right \} \\c)\;\mathbb{R}-\left \{ 0,2 \right \} \\d)\;\mathbb{R}-\left \{-5,-2,0,1,2 \right \} \\e)\;\mathbb{R}-\left \{ -2,0,2 \right \}[/latex]

Gabarito :

Pessoal, se puderem me ajudar no passo-a-passo da questão, agradeceria muito!

A função g(f(x)) sai da imagem da f, conforme vemos na figura abaixo. Assim devemos ter a imagem de f diferente de 0 e 2 como manda o domínio da g:
I) (x - 1)/(x + 2) ≠ 0
x ≠ 1

II) (x - 1)/(x + 2) ≠ 2
x - 1 ≠ 2x + 4
x ≠ - 5

Então R - {- 5, 1} é o maior conjunto possível.

Rory, tenho uma dúvida:

O domínio de gof não seria a interseção do domínio de f com o domínio de g(x)?


Logo, não seria assim?:


Domínio de (x-1)/(x+2), o qual x não pode ser -2 

(x-1)(x+2) não pode resultar nos valores 0 e 2, logo, x é diferente de -5 e 1. 


Minha dúvida é: gof é definida em x= -2?

https://youtu.be/d6a5mnKvXy4?t=97 

Eu devo estar bobeando em algo... sorry  

Bom dia colegas;

Apesar do Rory Gilmore ter resolvido de uma maneira super prática diga-se de passagem, pode ser feito da maneira convencional felipe, obviamente que os cálculos não são tão diretos quanto apresentados pelo colega.



Fazendo a analise de g(f(x)) ---> (x+2)² é sempre positivo. Precisamos definir valores para o denominador que sejam diferentes de zero, ou seja:





Solução para o domínio está definido em:



Da sua dúvida, x pode sim adotar x = -2, o que ocorre de fato é que g(f(-2)) = 0.

Sugiro que você reveja a solução do Rory por ser muito mais simples e tomar menos tempo em diversas operações. Espero ter contribuido de alguma forma!

felipeomestre123 escreveu:[url=https://servimg.com/view/20250432/186]
Rory, tenho uma dúvida:

O domínio de gof não seria a interseção do domínio de f com o domínio de g(x)?


Logo, não seria assim?:


Domínio de (x-1)/(x+2), o qual x não pode ser -2 

(x-1)(x+2) não pode resultar nos valores 0 e 2, logo, x é diferente de -5 e 1. 


Minha dúvida é: gof é definida em x= -2?


Eu devo estar bobeando em algo... sorry 

Não, o domínio da gof é o conjunto dos elementos x do Dom(f) tal que f(x) pertence ao Dom(g).
Podemos ver que gof é definida em x = - 2, pois - 2 está no domínio da gof pois corresponde a fazer g(f(x)= -2) = g(-1) e - 1 pertece ao Dom(f) e f(-1) = -2 que pertence ao Dom(g).

Ah tah! Obrigado!