Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Equação Algébrica

2 participantes

Ir para baixo

Resolvido Equação Algébrica

Mensagem por castelo_hsi Qui 02 Set 2021, 11:34

Se x e y são números reais, tais que Equação Algébrica  Png. O valor de Equação Algébrica  Png é igual a:

a) Equação Algébrica  Png
b) Equação Algébrica  Png
c) Equação Algébrica  Png
d) Equação Algébrica  Png

GABARITO:
a


Última edição por castelo_hsi em Qui 02 Set 2021, 20:57, editado 1 vez(es)
castelo_hsi
castelo_hsi
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 147
Data de inscrição : 27/06/2021
Localização : São Paulo

Ir para o topo Ir para baixo

Resolvido Re: Equação Algébrica

Mensagem por SilverBladeII Qui 02 Set 2021, 19:56

deeeeeve ter uma forma mais siples de fazer, sei lá, mas o que eu consegui foi:
podemos supor spg x, y > 0, usa as substituições de variável
[latex]\cos a=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \text{ e } \sin a=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}[/latex]
a é do primeiro quadrante e tals.

obtemos
[latex]k=\frac{1}{\cos 2a}+\cos(2a)[/latex]
resolvendo em cos 2a,
[latex]\cos 2a=\frac{k\pm\sqrt{k^2-4}}{2}[/latex]
que sempre tem solução real, porque [latex]|k|\geq 2[/latex]
vai ter que analisar caso a caso o sinal, mas de buenas.

temos 

[latex]\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}=\frac{\cos^8a-\sin^8a}{\cos^8a+\sin^8a}[/latex]

mas

[latex]\cos^8a-\sin^8a=(\cos^4a+\sin^4a)(\cos^2a+\sin^2a)(\cos^2a-\sin^2a)
=(\cos^4a+\sin^4a)\cos2a[/latex]
e
[latex]\cos^4a+\sin^4a=(\cos^2a+\sin^2a)^2-2\sin^2 a\cos^2a
=1-\frac{\sin^22a}{2}=\frac{1+\cos^22a}{2}[/latex]
portanto
[latex]\cos^8a-\sin^8a=\frac{1+\cos^22a}{2}\cos2a[/latex]

além disso
[latex]\cos^8a+\sin^8a=(\cos^2a+\sin^2a)(\cos^4a+\sin^4a-\cos^2a\sin^2a)
=\frac{1+\cos^22a}{2}-\frac{\sin^22a}{4}
=\frac{1+3\cos^22a}{4}[/latex]

então
[latex]\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}=\frac{2(1+\cos^22a)\cos2a}{1+3\cos^22a}[/latex]

agora é só substituir tudo em função do k, fazer várias conas e terminar.

confessor que essa solução é simplesmente horrorosa, mas não tive muitas ideias

aq uma imagem do bagulho todo expandido para o caso e que x < y, ou seja, o sinal usado na formula de bhaskara é o "+" (o caso x > y é parecido, só troca uns sinais)

Equação Algébrica  WMQWk+kH7zGqwAAAABJRU5ErkJggg==
fonte: 2(1+a^2)a/(1+3a^2)+(1+3a^2)/(2(1+a^2)a), where a=(k-sqrt(k^2-4))/2 - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)


Última edição por SilverBladeII em Qui 02 Set 2021, 20:08, editado 1 vez(es)
SilverBladeII
SilverBladeII
Matador
Matador

Mensagens : 412
Data de inscrição : 04/09/2019
Idade : 19
Localização : Teresina, Piauí, Brasil

castelo_hsi gosta desta mensagem

SilverBladeII não gosta desta mensagem

Ir para o topo Ir para baixo

Resolvido Re: Equação Algébrica

Mensagem por castelo_hsi Qui 02 Set 2021, 20:02

SilverBladeII, muito obrigado pela resposta.

Essa questão é do livro Tópicos de Álgebra Elementar, também estou procurando uma solução mais simples que use apenas os conceitos aprendidos no Fundamental II, mas não consegui enxergar nenhum caminho na questão...
castelo_hsi
castelo_hsi
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 147
Data de inscrição : 27/06/2021
Localização : São Paulo

Ir para o topo Ir para baixo

Resolvido Re: Equação Algébrica

Mensagem por SilverBladeII Qui 02 Set 2021, 20:33

noooooossa hauhauhuahua consegui. aliás, eu acho que deve ter algum erro na primeira sol que eu mandei

se liga:
[latex]k=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{2x^4+2y^4}{x^4-y^4}[/latex]

então

[latex]j=\frac{k}{2}+\frac{2}{k}=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}
=\frac{2x^8+2y^8}{x^8-y^8}[/latex]

então o que queremos é 
[latex]\frac{2}{j}+\frac{j}{2}[/latex]
que é bem mais facinho de simplificar
SilverBladeII
SilverBladeII
Matador
Matador

Mensagens : 412
Data de inscrição : 04/09/2019
Idade : 19
Localização : Teresina, Piauí, Brasil

castelo_hsi gosta desta mensagem

Ir para o topo Ir para baixo

Resolvido Re: Equação Algébrica

Mensagem por castelo_hsi Qui 02 Set 2021, 20:35

MUITO BOM, COLEGA!!!

VALEU DEMAIS! cheers

Equação Algébrica  Image
castelo_hsi
castelo_hsi
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 147
Data de inscrição : 27/06/2021
Localização : São Paulo

SilverBladeII gosta desta mensagem

Ir para o topo Ir para baixo

Resolvido Re: Equação Algébrica

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo


 
Permissões neste fórum
Você não pode responder aos tópicos