Equação algébrica

por Mazzorry P Simpricio Qui 09 Out 2014, 16:14

(UFRGS) Considerando as raízes do polinômio p(x)= x⁴ + 16, pode-se afirmar que p(x):

a) não tem raízes no conjunto dos números complexos.
b) tem uma raiz de multiplicidade 4.
c) tem quatro raízes complexas distintas.
d) tem duas raízes duplas.

e) tem por gráfico uma curva que troca de concavidade.

Resp.: C

por PedroCunha Qui 09 Out 2014, 17:33

Olá.

x^4 = -16 .:. x^4 = 16 * (-1) .:. x^4 = 16 * cis(pi)

As raízes são tais que x = 2 * cis[ (pi + 2kpi)/4 ], k = 0,1,2,3

Então:

k = 0: x = 2 * cis(pi/4) = 2*(√2/2 + i√2/2) = √2 + i√2
k = 1: x = 2 * cis(3pi/4) = 2 * (-√2/2 + i√2/2) = -√2 + i√2
k = 2: x = 2 * cis(5pi/4) = 2 * (-√2/2 - i√2/2) = -√2 - i√2
k = 3: x = 2 * cis(7pi/4) = 2 * (√2/2 - i√2/2) = √2 - i√2

Alternativa c.

Att.,
Pedro