INCENTRO EXERCÍCIO

por karenlouise123 26/8/2021, 6:37 pm

No triângulo ABC
AB é 6,5cm
Angulo ABC = 74°
Distância do incentro ao lado AB = 3,2 cm

Construa o triângulo usando compasso e transferidor, sem cálculos.

Este exercício está certo? Para mim o incentro dá menor que 3,2 em qualquer tentativa de construção.... me ajudem por favor

Segue o desenho que fiz seguindo os passos certinho, o triângulo não fecha...
INCENTRO EXERCÍCIO B+o6uL1P0cwhAAAAAElFTkSuQmCC

INCENTRO EXERCÍCIO B+o6uL1P0cwhAAAAAElFTkSuQmCC

por **Elcioschin** 26/8/2021, 7:29 pm

Uma figura (sem escala) para ajudar:

por karenlouise123 26/8/2021, 8:07 pm

Obrigada, mas acho que não entendi... esse é um exercício de construção com compasso e transferidor, sem cálculo nenhum, não aprendemos lei dos senos, nada disso... Será que teria como fazer dessa forma?

por Edu lima 26/8/2021, 10:36 pm

Karen não dá para construir uma figura plana utilizando compasso e transferidor sem os parâmetros necessários para fazer isso. Vc forneceu alguns desses parâmetros, mas falta mais...Elcioschin deu o caminho para vc encontrar os demais dados, para a partir daí consegui fazer a figura conforme os dados apresentados.

por **Medeiros** 27/8/2021, 1:23 am

karenlouise123 escreveu:No triângulo ABC
AB é 6,5cm
Angulo ABC = 75°
Distância do incentro ao lado AB = 3,2 cm
Construa o triângulo usando compasso e transferidor, sem cálculos.

Karen,
antes preciso dizer que gostei da sua professora, esse é o jeito certo de aprender geometria: construindo.
Se você está recebendo exercícios neste nível é porque, usando apenas régua e compasso, já sabe:
a) transferir medidas;
b) construir ângulos;
c) traçar bissetrizes
d) traçar uma paralela a uma distância dada.
Então não vou mostrar como se faz nada disto, vou apenas indicar diretamente a estratégia para a construção.

A propósito, para construir aquele ângulo de 75º não precisamos do transferidor, basta compasso e régua; a professora permitiu o transferidor somente para facilitar a execução pelos alunos. Você levanta um ângulo de 90º, estabelece um de 60º dentro dele e divide o de 30º que sobrou por uma bissetriz (dá dois de 15º); o de 75º é todo o espaço do 60º mais os 15º contíguos -- passa a régua.

Ainda, devemos fazer a construção e abaixo a sua descrição, como se fosse um memorial de cálculo. Esta descrição deve ser feita em duas colunas; na da esquerda, descrevemos o que fazemos para construir; na da direita, ao lado de cada descrição, justificamos o porquê aquilo é válido. Eu não sei dividir em colunas aqui no fórum.

vamos à resolução

1) sobre uma reta suporte r marcamos o ponto B e, a partir dele, traçamos a reta suporte s com ângulo de 75º. Vamos definir que r contém o lado BC e s contèm o lado AB.
2) em B traçamos a semirreta t, bissetriz de sBr. A semirreta t é o lugar geométrico do incentro I.
justificativa: o incentro de um triângulo fica no encontro das suas bissetrizes, logo a bissetriz do ângulo ˆB contém o incentro I.
3) paralela a r traçamos a reta u a distância dada de 3,2. Esta reta u é lugar geométrico do incentro I.
justificativa: a distância de um ponto a uma reta é medida na perpendicular e a distância do incentro aos lados do triângulo é o raio da circunferência inscrita, logo é a mesma distância para AB ou BC ou AC -- por comodidade de traçado, já que BC está na horizontal -- escolhemos traçar u paralela a r.
4) no encontro de t e u, marcamos o ponto I (incentro).
justificativa: o encontro de dois lugares geométricos de um ponto é o próprio ponto.
5) apoiados em I e com abertura dada de 3,2, traçamos a circunferência λ (obs: ela deve tangenciar r e s).
justificativa: se existe o incentro e o raio (dado de projeto), então existe a circunferência inscrita.
6) sobre s, a partir de B transferimos a distância dada 6,5 e marcamos o ponto A.
justificativa: por exigência de projeto.
7) apoiado em A traçamos um segmento tangente a λ em T até encontrar r, onde marcamos o ponto C.
justificativa: os lados do triângulo são tangentes à circunferência inscrita.
O triângulo ABC já está construído.

Opção
Para determinar o incentro, em vez de traçar a bissetriz de B poderíamos traçar duas paralelas, a r e a s, na distância 3,2. Porém achei mais elegante variar as ferramentas usadas e também demostrar o conhecimento de que o incentro fica na bissetriz.

comentário: o que fiz é apenas um esboço (eu disse que só iria mostrar a estratégia para construir) e você deve melhorar a apresentação. Lembrando que o ângulo de 75º, a bissetriz e a paralela devem ser obtidos com régua e compasso; e a transferência de medidas é feita com o compasso.

por **raimundo pereira** 27/8/2021, 10:19 am

por karenlouise123 27/8/2021, 12:45 pm

Medeiros escreveu:
karenlouise123 escreveu:No triângulo ABC
AB é 6,5cm
Angulo ABC = 75°
Distância do incentro ao lado AB = 3,2 cm
Construa o triângulo usando compasso e transferidor, sem cálculos.
Karen,
antes preciso dizer que gostei da sua professora, esse é o jeito certo de aprender geometria: construindo.
Se você está recebendo exercícios neste nível é porque, usando apenas régua e compasso, já sabe:
a) transferir medidas;
b) construir ângulos;
c) traçar bissetrizes
d) traçar uma paralela a uma distância dada.
Então não vou mostrar como se faz nada disto, vou apenas indicar diretamente a estratégia para a construção.

A propósito, para construir aquele ângulo de 75º não precisamos do transferidor, basta compasso e régua; a professora permitiu o transferidor somente para facilitar a execução pelos alunos. Você levanta um ângulo de 90º, estabelece um de 60º dentro dele e divide o de 30º que sobrou por uma bissetriz (dá dois de 15º); o de 75º é todo o espaço do 60º mais os 15º contíguos -- passa a régua.

Ainda, devemos fazer a construção e abaixo a sua descrição, como se fosse um memorial de cálculo. Esta descrição deve ser feita em duas colunas; na da esquerda, descrevemos o que fazemos para construir; na da direita, ao lado de cada descrição, justificamos o porquê aquilo é válido. Eu não sei dividir em colunas aqui no fórum.

vamos à resolução

1) sobre uma reta suporte r marcamos o ponto B e, a partir dele, traçamos a reta suporte s com ângulo de 75º. Vamos definir que r contém o lado BC e s contèm o lado AB.
2) em B traçamos a semirreta t, bissetriz de sBr. A semirreta t é o lugar geométrico do incentro I.
justificativa: o incentro de um triângulo fica no encontro das suas bissetrizes, logo a bissetriz do ângulo ˆB contém o incentro I.
3) paralela a r traçamos a reta u a distância dada de 3,2. Esta reta u é lugar geométrico do incentro I.
justificativa: a distância de um ponto a uma reta é medida na perpendicular e a distância do incentro aos lados do triângulo é o raio da circunferência inscrita, logo é a mesma distância para AB ou BC ou AC -- por comodidade de traçado, já que BC está na horizontal -- escolhemos traçar u paralela a r.
4) no encontro de t e u, marcamos o ponto I (incentro).
justificativa: o encontro de dois lugares geométricos de um ponto é o próprio ponto.
5) apoiados em I e com abertura dada de 3,2, traçamos a circunferência λ (obs: ela deve tangenciar r e s).
justificativa: se existe o incentro e o raio (dado de projeto), então existe a circunferência inscrita.
6) sobre s, a partir de B transferimos a distância dada 6,5 e marcamos o ponto A.
justificativa: por exigência de projeto.
7) apoiado em A traçamos um segmento tangente a λ em T até encontrar r, onde marcamos o ponto C.
justificativa: os lados do triângulo são tangentes à circunferência inscrita.
O triângulo ABC já está construído.

Opção
Para determinar o incentro, em vez de traçar a bissetriz de B poderíamos traçar duas paralelas, a r e a s, na distância 3,2. Porém achei mais elegante variar as ferramentas usadas e também demostrar o conhecimento de que o incentro fica na bissetriz.

comentário: o que fiz é apenas um esboço (eu disse que só iria mostrar a estratégia para construir) e você deve melhorar a apresentação. Lembrando que o ângulo de 75º, a bissetriz e a paralela devem ser obtidos com régua e compasso; e a transferência de medidas é feita com o compasso.

por karenlouise123 27/8/2021, 12:51 pm

Segue desenho feito exatamente como passo a passo do Medeiros. O triângulo não fecha. Se o raio for menor, ele fecha.

INCENTRO EXERCÍCIO B+o6uL1P0cwhAAAAAElFTkSuQmCC

por **Medeiros** 28/8/2021, 3:30 pm

karenlouise123 escreveu:Segue desenho feito exatamente como passo a passo do Medeiros. O triângulo não fecha. Se o raio for menor, ele fecha.

Karen, boa tarde!

você tem razão: o triângulo não fecha, apesar de que seu desenho não atende o ângulo de 75º. Infelizmente não verifiquei a consistência dos dados fornecidos na especificação -- pois isto é obrigação de quem especifica -- e não fiz qualquer conta. Porém o método de construção é exatamente como indiquei e precisamos ter esse método em mente para poder refutar o especificado, conforme verás abaixo.

O fato é que existe erro crasso no enunciado que pode ser produto de engano, ou desatenção ou provocação (para ver até onde os alunos estão atentos e firmes na teoria). Seja o que for, nas atuais condições, você deve reponder ao seu professor:

"Considerado, em relação à reta r suporte do lado BC, a cota do vértice A mede
h_A = 6,5*sen(75º) ≈ 6,28 cm
e a cota do ponto mais alto da circunferência inscrita tem mesma medida do diâmetro, ou seja,
h_d = 2.r = 6,4 cm.
Assim h_d > h_A. Portanto é impossível construir tal triângulo que tenha essa circunferência inscrita."

Porém, após, faça mais; para não perder a oportunidade da prática altere os dados do enunciado para:
- mantenha o ângulo ˆB = 75º;
- reduza o raio para R = 3,0 cm;
- aumente o lado para AB = 10 cm.
Com esta alteração, execute o meu passo-a-passo que você deve conseguir um desenho adequado ao tamanho da folha.

por karenlouise123 29/8/2021, 7:27 pm

Sim, com os dados alterados eu consigo! Na verdade o ângulo passado originalmente foi de 74°, já alterei no enunciado. Mas mesmo com o de 75° não fechava.

Caso eu diminua o raio, eu consigo sim.

Obrigada!