(Russia) Equação
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(Russia) Equação
por LARA01 Dom 08 Ago 2021, 13:48
Sejam a, b e c números reais tais que as equações x²+ax+1=0 e x²+bx+c=0 possuem exatamente uma raiz real comum e as equações x²+x+a=0 e x²+cx+b=0 também possuem uma raiz comum. Então o valor de a+b+c é igual a:
a)-3
b)-1
c)1
d)3
e)0
resp:a
a)-3
b)-1
c)1
d)3
e)0
resp:a
LARA01- Padawan
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Re: (Russia) Equação
por Elcioschin Dom 08 Ago 2021, 14:09
1) x² + a.x + 1 = 0 --->raízes r, s
r + s = - a ---> I
r.s = 1 ---> II
2) x² + b.x + c = 0 ---> Raízes r, t
r + t = - b ---> III
r.t = c ---> IV
3) x² + x + a = 0 ---> Raízes m, n
m + n = - 1 ---> V
m.n = a ---> VI
4) x² + c.x + b = 0 ---> Raízes m, p
m + p = - c ---> VII
m.p = b ---> VIII
Tente resolver o sistema e calcule a, b, c
r + s = - a ---> I
r.s = 1 ---> II
2) x² + b.x + c = 0 ---> Raízes r, t
r + t = - b ---> III
r.t = c ---> IV
3) x² + x + a = 0 ---> Raízes m, n
m + n = - 1 ---> V
m.n = a ---> VI
4) x² + c.x + b = 0 ---> Raízes m, p
m + p = - c ---> VII
m.p = b ---> VIII
Tente resolver o sistema e calcule a, b, c
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (Russia) Equação
por SilverBladeII Seg 09 Ago 2021, 00:26
seja t a raiz em comum das duas primeiras equações e s a raiz em comum das duas últimas. Então:
t²+at+1=0 (I)
t²+bt+c=0 (II)
s²+s+a=0 (III)
s²+cs+b=0 (IV)
Fazendo (I)-(II) e (III)-(IV), obtemos
(a-b)t+1-c=0 (V)
(1-c)s+(a-b)=0 (VI)
Se qualquer um entre 1-c, a-b, t ou s é 0, então pelas equações (V) e (VI) necessariamente 1-c e a-b são 0, e portanto c=1 e a=b. Mas então as duas primeiras equações são iguais, o que é um absurdo, pois elas compartilham somente uma raiz. Assim, todos os temrmos citados anteriormente são diferentes de 0, de forma que s=1/t.
Substituindo isso nas equações (III) e (IV), obtemos
at²+t+1=0 (VII)
bt²+ct+1=0 (VIII)
Fazendo (I)+(II) e (VII)+(VIII)
2t²+(a+b)t+1+c=0, de forma que
(a+b)t+1+c=-2t² (IX)
e
(a+b)t²+(1+c)t+2=t[(a+b)t+1+c]+2=0 (X)
Substituindo (IX) em (X), temos
t[-2t²]+2=0, de forma que t=1.
Assim,
1+a+1=0 -> a=-2
e
1+b+c=0 -> b+c=-1
de forma que
a+b+c=-1
t²+at+1=0 (I)
t²+bt+c=0 (II)
s²+s+a=0 (III)
s²+cs+b=0 (IV)
Fazendo (I)-(II) e (III)-(IV), obtemos
(a-b)t+1-c=0 (V)
(1-c)s+(a-b)=0 (VI)
Se qualquer um entre 1-c, a-b, t ou s é 0, então pelas equações (V) e (VI) necessariamente 1-c e a-b são 0, e portanto c=1 e a=b. Mas então as duas primeiras equações são iguais, o que é um absurdo, pois elas compartilham somente uma raiz. Assim, todos os temrmos citados anteriormente são diferentes de 0, de forma que s=1/t.
Substituindo isso nas equações (III) e (IV), obtemos
at²+t+1=0 (VII)
bt²+ct+1=0 (VIII)
Fazendo (I)+(II) e (VII)+(VIII)
2t²+(a+b)t+1+c=0, de forma que
(a+b)t+1+c=-2t² (IX)
e
(a+b)t²+(1+c)t+2=t[(a+b)t+1+c]+2=0 (X)
Substituindo (IX) em (X), temos
t[-2t²]+2=0, de forma que t=1.
Assim,
1+a+1=0 -> a=-2
e
1+b+c=0 -> b+c=-1
de forma que
a+b+c=-1
SilverBladeII- Matador
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