FUVEST-SP

No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale:
gabarito: raio=5

O enunciado descreve que, nesta circunferência C temos dois pontos em destaque que a circunferência contem, o de tangencia na abscissa (5,0) e um outro ponto (1,2).


Agora, observamos a partir disto que, de maneira logica, a distancia entre os pontos (1,2) e (5,0) é a mesma! Logo, se por exemplo, calcularmos a distancia do centro ate o ponto (1,2) teremos o mesmo valor para (5,0).
Desta forma podemos calcular a distancia dos pontos com aquele básica formula colocando em Pitágoras:


Analise que, ao colocar em um triangulo retângulo a distancia do centro ao ponto (1,2) obtemos catetos com as coordenadas do centro menos as do ponto em si:


(isolei só o triangulo retângulo para ser mais compreensível)
Agora analise que, as distancias ilustradas pelas retas azuis são as coordenadas do centro(x,y) e as roxas são aquelas que representam a de (1,2)

Logo, ao subtrair as retas roxas das azuis teremos os catetos, observemos o eixo Y primeiro, teremos uma reta azul que representa a coordenada Y do centro e a roxa que representa a 2 do ponto (1,2), logo, aquele cateto a esquerda será: Y-2. 
A mesma logica para o eixo X, teremos que este cateto medirá: X-1.
(Observe que ao aplicar o triangulo retângulo no centro e o ponto (5,0) fica meio estranho pela representação analítica acima, mas a logica é a mesma.)

Agora, já compreendido a logica por trás da distancia entre os pontos chamaremos a distancia do centro ao ponto (1,2) como A e a distancia do centro ate o (5,0) como B (apenas para fins explicativos.)

Então agora se tem a seguinte conclusão depois de aplicar as distancia do ponto ao centro nos dois pontos:

A=B
(x-1)²+(y-2)² = (x-5)²+(y-0)²
x²-2x+1+y²-4y+4=x²-10x+25+y²
x²+y²-2x-4y+5=x²+y²-10x+25
-2x-4y=-10x+20
-4y=-8x+20
8x-4y=20
2x-y=5
y=2x-5

Pelos cálculos podemos concluir que o ponto Y terá como coordenada (2x-5). Agora ficou simples, pois analisemos o que o exercício falou, que o ponto (5,0) é tangente ao centro, logo, ele é perpendicular ao eixo das abcissas, e agora vem a seguinte relação:



Observe que o X do centro é o mesmo do ponto (5,0)(observe as retas azuis e roxas acima), logo, pode-se dizer então que o centro tem 5 como sendo o seu X. Aplicando a relação matemática que vimos para Y:

X=5 ->

Y = 2x-5 

Y= 2.5-5
Y=10-5
Y=5

Então a partir disto concluímos que centro tem coordenada de (5,5). E como ultima observação, analise que a distancia ate o ponto (5,0) é o raio a circunferência, logo, sabe-se então que o raio será igual a 5.