Rotação no eixo y. Geometria Analítica e Espacial

por natanlopes_17 Ter 03 Ago 2021, 13:00

Seja região no plano cartesiano definida pelas inequações a seguir :

x^2 + y^2[latex]> [/latex] 4y

[latex]0< x< 2[/latex]

[latex]0< y< 2[/latex]

O volume do sólido gerado pela rotação dessa região acima em torno do eixo y é igual a:

gab: 8pi/3

por natanlopes_17 Ter 03 Ago 2021, 13:03

Deixar aqui para caso algum adm veja essa questão, TODA vez que eu uso o sinal de maior ou menor do teclado aqui no fórum, a questão simplesmente BUGA completamente. Ai sempre tenho que editar várias vezes para arrumar

por **tales amaral** Ter 03 Ago 2021, 13:24

Não sei se é assim que resolve, mas eu fiz desse jeito lol!

:

[latex]x^2 + y^2> 4y \implies x^2+(y-2)^2>4[/latex]

Imagina uma circunferência de centro (0,2) e raio 2. A área que corresponde a essa inequação é a área fora dela. As inequações $Rotação no eixo y. Geometria Analítica e Espacial Png$ e $Rotação no eixo y. Geometria Analítica e Espacial Png$ formam um quadrado de lado 2 e vértices (0,0), (0,2),(2,2),(2,0). Rodando isso vai dar um cilindro com uma semicircunferência dentro. O volume vai ser:

[latex]\begin{align*} V &= A_{\text{cilindro}}-A_{\text{SemiEsfera}}\\~\\ &= \pi\cdot r^2\cdot h - \dfrac{4}{6}\cdot \pi \cdot r^3\\~\\ &= \pi\cdot 2^3-\dfrac{4}{6}\cdot \pi \cdot 2^3\\~\\ &=\pi\cdot 2^3\cdot\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\\~\\ &= \pi\cdot 2^3\cdot\left(\dfrac{1}{3} \right )\\~\\ &=\dfrac{8\pi}{3} \text{ u}^3 \end{align*}[/latex]