Geometria Analítica

Considere as seguintes afirmações:

I)O valor de [latex]log_{2}\left ( \binom{2017}{0} + \binom{2017}{2} + \binom{2017}{4} + \cdots + \binom{2017}{2016} \right )[/latex] é igual a 2016;

II)II. O ponto (–3, 2) é girado 90º no sentido horário em torno da origem obtendo um novo ponto B. Esse ponto B é refletido
sobre a reta y = x obtendo um ponto C de coordenadas igual a (3, 2);

III)III. A equação polinomial do quarto grau [latex]x^{4} - 7x^{3} + 4x^{2} + 7x - 4 = 0[/latex] tem quatro raízes reais a,b,c e d,então o valor da soma [latex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}[/latex] vale [latex]\frac{4}{7}[/latex]


É(são) verdadeira(s)

a)Todas
b)Apenas II
c)I e II
d)II e III
e)I e III

Gabarito:

A minha dúvida é somente na assertiva II. Usando como referência o plano de Argand-Gauss,rotacionei o ponto (-3,2) no sentido horário multiplicando o complexo z = -3 + 2i,levando-se em conta a propriedade dos argumentos dos complexos. Assim,obtive B = (2,3).

Como faço para refletir o ponto B sobre a reta y=x?

O ponto B(2, 3) refletido na reata y = x resulta em C(3, 2)

Elcioschin escreveu:O ponto B(2, 3) refletido na reata y = x resulta em C(3, 2)

Obrigado Élcio. Ficou bem mais fácil observar a simetria traçando as distâncias em relação à reta.

Este é o segredo e a vantagem da Geometria Analítica:

Note que eu não utilizei nenhuma fórmula. Apenas fiz um desenho em escala.

Então siga um conselho: em GA sempre faça um desenho em escala; ele ajuda muito!

Elcioschin escreveu:Este é o segredo e a vantagem da Geometria Analítica:

Note que eu não utilizei nenhuma fórmula. Apenas fiz um desenho em escala.

Então siga um conselho: em GA sempre faça um desenho em escala; ele ajuda muito!

Muito obrigado pelo conselho mestre Élcio. Certamente será de grande valia!

Eu gostaria de saber como resolve o item I)

orunss escreveu:Eu gostaria de saber como resolve o item I)

Seja [latex](1+x)^{2017} = \sum_{p=0}^{2017}\binom{2017}{p} [/latex]


Assumindo x = 1,temos:

[latex]2^{2017} = \binom{2017}{0} + \binom{2017}{1} + \binom{2017}{2} + \cdots + \binom{2017}{2017} [/latex] (I)


Tomando x = -1,obtemos:

[latex]\binom{2017}{0} - \binom{2017}{1} + \binom{2017}{2} - \binom{2017}{3} \cdots - \binom{2017}{2017} = 0 [/latex]


[latex]\binom{2017}{0} + \binom{2017}{2} + \binom{2017}{4} + \cdots + \binom{2017}{2016} = \binom{2017}{1} + \binom{2017}{3} + \cdots + \binom{2017}{2017}[/latex] (II)


O desenvolvimento de (1+x)^2017 apresenta um número par de termos,partindo do coeficiente [latex]\binom{2017}{0} [/latex] até chegar ao [latex]\binom{2017}{2017} [/latex] . Logo,o número de coeficientes com denominador par é igual ao número de coeficientes com denominador ímpar.

Como (I) representa a soma dos coeficientes com denominador par e ímpar,e assumindo S como a soma de cada um dos binomiais de denominador par(e também ímpares,uma vez que as somas são iguais,conforme (II)):

[latex]2S = 2^^{2017}[/latex]


[latex]S = 2^^{2016}[/latex]



[latex]log_{2}S = log_{2}2016[/latex]


[latex]log_{2}S = 2016[/latex]