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poliedro

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Mensagem por mariasilva121212 Qui 17 Jun 2021, 10:00

Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em duas unidades. Calcule o número de faces do poliedros, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.

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poliedro Empty Re: poliedro

Mensagem por FuturaIteanaM Qui 17 Jun 2021, 10:29

Olá! Minha resolução ficou assim, espero que ajude:
De acordo com o enunciado:
(I) F3 = 2 + F5, sendo F3 o número de faces triangulares e F5 o número de faces pentagonais
Pela relação fundamental dos poliedros CONVEXOS:
V = 7, V + F = A + 2 = > 7 + F = A + 2 (II), onde F é o número total de faces e A é o número total de arestas.
Essa relação não lembro como demonstra, mas ela é muito utilizada em vários problemas desse tipo:
2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 => com (I) => 2A = 6 + 8F5 + 4F4 => A = 3 + 4F5 + 2F4 (III)
e o número total de faces pode ser escrito como a soma das faces que ele contém F = F3 + F4 + F5 => com (I) => F = 2 + F4 + 2F5 (IV)

Com (II) A-F = 5 => utilizando (III) - (IV) para achar A-F => 1 + 2F5 + F4 = 5 (V), mas, como, de acordo com (IV) F4 + 2F5 = F - 2 => voltando a (V F - 2 = 4 => F = 6 Smile

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