Sistema
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Sistema
por natanlopes_17 Seg 14 Jun 2021, 23:45
(IME 2021) Considere o sistema de equações:
onde x, y e z são variáveis e k é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:
(A) k < −2
(B) −2 < k < 0
(C) 0 < k < 2
(D) 2 < k < 4
(E) k > 4
Gab: C
Consegui fazer, mas fiz de uma forma mais rápida, achei estranho pois o livro provou parte por parte, apenas gostaria de saber se essa generalização que eu fiz está correta.
X+Z= 1
X= 1-Z
lOGX(1-Y)= 1
X= 1-Y
Logo, y= z
log(-2x+3y+k)= log3z
k= 2x
Ai pensei ´´x deve estar entre 0 e 1, basta multiplicar ambos os lados por 2´´
[latex]0< 2x< 2[/latex]
2x= k
[latex]0< k< 2[/latex]
(A) k < −2
(B) −2 < k < 0
(C) 0 < k < 2
(D) 2 < k < 4
(E) k > 4
Gab: C
Consegui fazer, mas fiz de uma forma mais rápida, achei estranho pois o livro provou parte por parte, apenas gostaria de saber se essa generalização que eu fiz está correta.
X+Z= 1
X= 1-Z
lOGX(1-Y)= 1
X= 1-Y
Logo, y= z
log(-2x+3y+k)= log3z
k= 2x
Ai pensei ´´x deve estar entre 0 e 1, basta multiplicar ambos os lados por 2´´
[latex]0< 2x< 2[/latex]
2x= k
[latex]0< k< 2[/latex]
natanlopes_17- Jedi
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Re: Sistema
por Elcioschin Ter 15 Jun 2021, 11:36
Sempre é bom verificar as restrições:
log(- 2.x + 3.y + k) = log3 + logz ---> - 2.x + 3.y + k > 0 e z > 0 ---> I
logx(1 - y) = 1 ---> x > 0 e x ≠ 1 ---> 1 - y > 0 ---> y < 1 ---> II
1 - y = x ---> y = 1 - x ---> III
x + z = 1 ---> z = 1 - x ---> IV
Em I ---> log(- 2.x + 3.y + k) = log(3.z) ---> - 2.x + 3.y + k = 3.z --->
- 2.x + 3.(1 - y) + k = 3.(1 - y) --> x = k/2 --> k > 0 --> V
y = 1 - x ---> y = 1 - k/2 ---> z = 1 - k/2 ---> VI
Em I --> - 2.x + 3.y + k > 0 --> - 2.(k/2) + 3.(1 - k/2) + k > 0 --> 1 - k/2 > 0 -->
k < 2
Solução: 0 < k < 2
log(- 2.x + 3.y + k) = log3 + logz ---> - 2.x + 3.y + k > 0 e z > 0 ---> I
logx(1 - y) = 1 ---> x > 0 e x ≠ 1 ---> 1 - y > 0 ---> y < 1 ---> II
1 - y = x ---> y = 1 - x ---> III
x + z = 1 ---> z = 1 - x ---> IV
Em I ---> log(- 2.x + 3.y + k) = log(3.z) ---> - 2.x + 3.y + k = 3.z --->
- 2.x + 3.(1 - y) + k = 3.(1 - y) --> x = k/2 --> k > 0 --> V
y = 1 - x ---> y = 1 - k/2 ---> z = 1 - k/2 ---> VI
Em I --> - 2.x + 3.y + k > 0 --> - 2.(k/2) + 3.(1 - k/2) + k > 0 --> 1 - k/2 > 0 -->
k < 2
Solução: 0 < k < 2
Elcioschin- Grande Mestre
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