(AFA)Matrizes

por AspiraDedeu 4/4/2021, 10:35 pm

Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M:
M^t é a matriz transposta de M
M^-1 é a matriz inversa de M
det M é o determinante da matriz M

Da equação (X^t)^-1 = A [latex]\cdot [/latex] (B + C) , em que A e (B + C ) são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se que

I. X = (A-1)t . [ (B + C)-1]t

II. det X = 1/det A [latex]\cdot [/latex] det ( B + C )

III. X^-1 = ( B^t + C^t ) [latex]\cdot [/latex] A^t

São corretas:
A
apenas I e II

B
apenas II e III

C
apenas I e III

D
I, II e III

Spoiler:

por AspiraDedeu 5/4/2021, 12:31 pm

up, se não tiver dando para entender algo só perguntar pessoal...

por eduardodudu101 5/4/2021, 2:29 pm

I)Multiplique dos dois lados por X^t,lembrando que o produto de uma matriz por sua inversa é igual à Identidade de mesma ordem.

Sendo X uma matriz de ordem n,e In a Identidade de ordem n:

In = Xt.A.(B+C)

Multiplicando por A^-1 dos dois lados:

A-1 = Xt.(B+C)

Multiplicando por (B+C)^-1 dos dois lados:

A^-1.(B+C)^-1 = X^t

Aplicando a Transposta dos dois lados(In^t = In e (X^t)t = X):

(A^-1)^t.[(B+C)^-1]^t = X

X = (A^-1)^t.[(B+C)^-1]^t

II)Como I) é verdade,podemos partir dela para calcular o det.

Aplique o det dos dois lados,lembrando:

1)Sendo M uma matriz de ordem n,detM = detM^t

2)M.M^-1 = In

Aplicando o det dos dois lados:

det(M.M^-1) = det In

Como In é uma matriz triangular em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1,detIn = 1

det(M.M^-1) = 1

Pelo Teorema de Binet:

detM.detM^-1 = 1

Logo,det M^-1 = 1/detM,se M for inversível.

Diante disso,aplicando det dos dois lados na expressão calculada em I):

detX = 1/[detA.det(B+C)]

III)Do enunciado:(X^t)^-1 = A $(AFA)Matrizes Png$ (B + C)

Multiplicando por X^t dos dois lados:

In = X^t.A.(B+C)

Aplicando a Transposta dos dois lados:

X.A^t.(B+C)^t = In

Multiplicando por X^-1 dos dois lados:

X^-1 = A^t.(B+C)^t

Não foi dito que A^t e (B+C)^t são comutáveis,logo creio que a III) esteja errada.