Números Complexos

por gustavogc14 Seg 29 Mar 2021, 20:22

Seja [latex]z=a+bi[/latex] um número complexo com [latex]|z|=5[/latex] e [latex]b> 0[/latex], tal que a distância entre [latex](1+2i)\cdot z^{3}[/latex] e [latex]z^{5}[/latex] é máxima, e seja [latex]z^{4}=c+di[/latex]. Então, o valor numérico de [latex]c+d[/latex] vale:

A)125
B)75
C)100
D)25
E)625

Não tenho o gabarito...

por al171 Qui 01 Abr 2021, 18:33

Resolvi esse problema com rotação de vetores... confira: https://www.youtube.com/watch?v=yqtrJoFDbMI

por **Vitor Ahcor** Qui 01 Abr 2021, 20:01

Uma ideia:

Para |z⁵ - z³(1+2i)| = |z³||z²-(1+2i)| máximo, teremos:

|z²-(1+2i)| ≤ |z²| + |1+2i|

Ocorrendo a igualdade qd houver a colinearidade, ou seja:

z² = k*(1+2i) .: |z|² = |k|*|1+2i| .: 25 = |k|*√5 .: |k| = 5√5

De modo que z² = ±5√5*(1+2i)

Logo, z⁴ = 125*(-3 + 4i) .: c + d = 125.