Triâgulo e seus Círculos

por **alansilva** Seg 08 Fev 2021, 21:36

Em um triângulo ABC, $Triâgulo e seus Círculos Gif$ . $Triâgulo e seus Círculos Gif$ . $Triâgulo e seus Círculos Gif$ , é igual a:

A) $Triâgulo e seus Círculos Gif$
B) $Triâgulo e seus Círculos Gif$
C) $Triâgulo e seus Círculos Gif$
D) $Triâgulo e seus Círculos Gif$
E) NRA

Dados:
p= perímetro
R=raio do círculo circunscrito

por **SilverBladeII** Ter 09 Fev 2021, 21:04

Talvez tenha uma solução menor, mas aí vai:
Se o triangulo [latex]\Delta ABC[/latex] tem incentro [latex]I[/latex], incirculo de raio [latex]r[/latex], [latex]I_a, I_b, I_c[/latex] são os pés das perpendiculares de [latex]I[/latex] nos lados [latex]BC, AC, AB[/latex], respectivamente, [latex]m=AI_c=AI_b,\ n=BI_c=BI_A[/latex] e [latex]s=CI_a=CI_B[/latex] e [latex]p=m+n+s[/latex] o semiperímetro do triangulo.
Dessa forma,

[latex]\begin{cases}\tan\frac{A}{2}=\frac{II_c}{AI_c}=\frac{r}{m}\\\tan\frac{B}{2}=\frac{II_c}{BI_c}=\frac{r}{n}\\\tan\frac{C}{2}=\frac{II_a}{AI_a}=\frac{r}{s}.\end{cases}[/latex]

e então

[latex]\begin{align*}\frac{1}{\tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{\tan{\frac{B}{2}}}+\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}&=\frac{\cos\frac{A}{2}}{\sin\frac{A}{2}}+\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}+\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}\\[1ex]&=\frac{\cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+\cos\frac{B}{2}\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}+\cos\frac{C}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{A}{2}}{\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{B}{2}}}\\&=\frac{S}{\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{B}{2}}}\\&=\frac{m+n+s}{r}\\&=\frac{p}{r}.\end{align*}[/latex]

Se [latex]Z[/latex] é a área do triângulo, temos que

[latex]Z=\frac{abc}{4R}=pr,[/latex]

onde [latex]a=s+n,\ b=m+s,\ c=m+n[/latex] são os lados do triângulo e [latex]R[/latex] o raio do circuncirculo do triangulo. Pela lei dos senos,

[latex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R,[/latex]

de forma que

[latex]abc=8R^3\sin A\sin B\sin C[/latex]

e, portanto,

[latex]r=\frac{2R^2\sin A\sin B\sin C}{p}.[/latex]

Por último,

[latex]\begin{align*}\cos\frac{\pi}{2}&=\cos\frac{A+B+C}{2}\\&=\cos\frac{A}{2}\cos{\left(\frac{B+C}{2}\right)}-\sin\frac{A}{2}\sin{\left(\frac{B+C}{2}\right)}\\&=\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}-\cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}-\cos\frac{B}{2}\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}-\cos\frac{C}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{A}{2}\\&=\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}-S\\\implies S&=\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}.\end{align*}[/latex]

Então

[latex]\begin{align*}\frac{S}{\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{B}{2}}}&=\frac{p}{r}\\&=\frac{p^2}{2R^2\sin A\sin B\sin C}\\\overset{*}{\implies} 8S^2=\frac{p^2}{2R^2}\\\implies S=\frac{p}{4R},\end{align*}[/latex]

onde em [latex](*)[/latex] foi utilizado que [latex]\sin(2x)=2\sin x\cos x.[/latex]

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