Angulos de um triagulo
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Angulos de um triagulo
por Astrogildo Calisbento Qui 21 Nov 2013, 16:12
Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135º e os lados AB e OB medem √2 e √(2-√3)cm , respectivamente. A circunferencia de centro em O e raio igual a medida de OB intercepta AB no ponto C (diferente de B) .
a) Mostre que OÂB mede 15°
b) Calcule o comprimento de AC
Gabarito:
sen² 15 =(√6 - √2 / 4 )² --> sen15° √((2-√3)/4) =√(2-√3)/2
AC = √(2-√3)cm
------------------------------------------
GOstaria os calculos para chegar no resultados principalmente porque quando fiz achei AC = 1 -√(2-√3)cm
Obrigado pela atenção.
a) Mostre que OÂB mede 15°
b) Calcule o comprimento de AC
Gabarito:
sen² 15 =(√6 - √2 / 4 )² --> sen15° √((2-√3)/4) =√(2-√3)/2
AC = √(2-√3)cm
------------------------------------------
GOstaria os calculos para chegar no resultados principalmente porque quando fiz achei AC = 1 -√(2-√3)cm
Obrigado pela atenção.
Astrogildo Calisbento- Iniciante
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Re: Angulos de um triagulo
por Elcioschin Qui 21 Nov 2013, 18:32
√(2 - √3) = √x - √y ----> Elevando ao quadrado
2 - √3 = x + y - √(4xy) ----> x + y = 2 ----> 4xy = 3
Resolvendo o sistema ----> x = 6/4 e y = 2/4 ----> √(2-√3) = (√6 - √2)/2
Lei dos senos
√(2-√3)/sen = √2/sen135º ----> (√6 - √2)/2.sen = √2/(√2/2) ----> sen = (√6 - √2)/4
sen15º = sen(45º - 30º) = sen45º.cos30º - sen30º.cos45º = (√2/2).(√3/2) - (1/2).(√2/2) ---->
sen15º = (√6 - √2)/4 -----> Â = 15º ----> B = 30º
Seja agora um sistema xOy com OB no eixo y
Equação da circunferência ---> x² + y² = OB² ----> x² = y² = 2 - √3
Ponto B ----> xB = (√6 - √2)/2 ----> yB = 0
Calcule a equação da reta AB com m = - tg30º = - √3/3 passando por B ---. y = ax + b
Encontre o ponto P(xP, yP) de encontro da circunferência com a reta
Depois calcule OP
2 - √3 = x + y - √(4xy) ----> x + y = 2 ----> 4xy = 3
Resolvendo o sistema ----> x = 6/4 e y = 2/4 ----> √(2-√3) = (√6 - √2)/2
Lei dos senos
√(2-√3)/sen = √2/sen135º ----> (√6 - √2)/2.sen = √2/(√2/2) ----> sen = (√6 - √2)/4
sen15º = sen(45º - 30º) = sen45º.cos30º - sen30º.cos45º = (√2/2).(√3/2) - (1/2).(√2/2) ---->
sen15º = (√6 - √2)/4 -----> Â = 15º ----> B = 30º
Seja agora um sistema xOy com OB no eixo y
Equação da circunferência ---> x² + y² = OB² ----> x² = y² = 2 - √3
Ponto B ----> xB = (√6 - √2)/2 ----> yB = 0
Calcule a equação da reta AB com m = - tg30º = - √3/3 passando por B ---. y = ax + b
Encontre o ponto P(xP, yP) de encontro da circunferência com a reta
Depois calcule OP
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Angulos de um triagulo
por Astrogildo Calisbento Sex 22 Nov 2013, 14:34
A primeira parte da explicação eu entendi.Obrigado mestre.
A partir de "equação da reta" não entendi mais nada, depois de desenhar achei o resultado assim.
lembrando... OÂB = 15° , O^BA = 30° , AÔB = 135° , reta AB = √2 , reta OB = √(2-√3) logo o raio da circunferencia é √(2-√3)
OÂB pode ser achado com a subtração do arco BE pelo CD e dividir o resultado por 2.
BE equivale a 45°(BÔE=45°) já que 180°-135°(AÔB)=45° , logo , 15° = 45° - CD / 2 -> CD = 15°
CÔD corresponde ao arco CD, logo, CÔD = 15°
se CÔD = 15° e CÂO = 15° , reta AC = reta CO , CO=√(2-√3)cm ,
AC = √(2-√3)cm
So nao entendi como eu faria usando equação da reta, como posso descobrir as coordenadas do ponto A?
A partir de "equação da reta" não entendi mais nada, depois de desenhar achei o resultado assim.
lembrando... OÂB = 15° , O^BA = 30° , AÔB = 135° , reta AB = √2 , reta OB = √(2-√3) logo o raio da circunferencia é √(2-√3)
OÂB pode ser achado com a subtração do arco BE pelo CD e dividir o resultado por 2.
BE equivale a 45°(BÔE=45°) já que 180°-135°(AÔB)=45° , logo , 15° = 45° - CD / 2 -> CD = 15°
CÔD corresponde ao arco CD, logo, CÔD = 15°
se CÔD = 15° e CÂO = 15° , reta AC = reta CO , CO=√(2-√3)cm ,
AC = √(2-√3)cm
So nao entendi como eu faria usando equação da reta, como posso descobrir as coordenadas do ponto A?
Astrogildo Calisbento- Iniciante
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Re: Angulos de um triagulo
por Elcioschin Sex 22 Nov 2013, 19:20
Você resolveu por Geometria Plana e está certo.
Eu indiquei a solução por Geometria Analítica assim:
1) O ponto C é a interseção da circunferência com a reta AB
2) Não é necessário conhecer as coordenadas do ponto A; basta conhecer o coeficiente angular da reta AB e as coordenadas do ponto B:
Como eu coloquei o ponto O na origem O(0, 0) e OB sobre o eixo x, temos:
a) A reta OB faz 30º com o eixo x ----> m = - tg30º = -√3/3
b) O ponto B tem abcissa igual ao raio R = √(2-√3) e ordenada nula: B(√(2-√3), 0)
Equação da reta ----> y - yB = m.(x - xB) ----> y - 0 = (- √3/3).[x -√(2-√3)]
Embora correto é trabalhoso fazer por GA
O seu método de Geometria Plana é melhor (você provou que o triângulo CAO é isósceles)
Eu indiquei a solução por Geometria Analítica assim:
1) O ponto C é a interseção da circunferência com a reta AB
2) Não é necessário conhecer as coordenadas do ponto A; basta conhecer o coeficiente angular da reta AB e as coordenadas do ponto B:
Como eu coloquei o ponto O na origem O(0, 0) e OB sobre o eixo x, temos:
a) A reta OB faz 30º com o eixo x ----> m = - tg30º = -√3/3
b) O ponto B tem abcissa igual ao raio R = √(2-√3) e ordenada nula: B(√(2-√3), 0)
Equação da reta ----> y - yB = m.(x - xB) ----> y - 0 = (- √3/3).[x -√(2-√3)]
Embora correto é trabalhoso fazer por GA
O seu método de Geometria Plana é melhor (você provou que o triângulo CAO é isósceles)
Elcioschin- Grande Mestre
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