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Relação entre lados e ângulos de um triângulo

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Resolvido Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Fëanor Seg 25 Jan 2021, 22:17

Os ângulos A e B de um triângulo ABC são relacionados pela expressão 3A+2B=180. Relacione a² com b e c, sabendo que a, b, c são as medidas dos lados do triângulo opostos aos ângulos dos vértices A, B e C, respectivamente.

a) a²=b²+c²
b)a²=b²-c²
c)a²=-bc+c²
d)a²=bc


Última edição por Fëanor em Ter 26 Jan 2021, 15:17, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Elcioschin Ter 26 Jan 2021, 09:04

Começando:

3.A + 2.B = 180º ---> I
A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C ---> II

3.II - I ---> 3.A - 3.A + 3.B - 2.B = 3.(180º - C) - 180 --->

B = 360º - 3.C -> III

I - 2.II ---> 3.A - 2.A + 2.B - 2.B = 180º - 2.(180º - C) --->

A = 2.C - 180º ---> IV 

Lei dos senos 

a/senA = b/senB = c/senC ---> 

a/sen(2.C - 180º) = b/sen(360º - 3.C) = c/senC

Lei dos cossenos:

a² = b² + c² - 2.b.c.cosA
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC

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Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Fëanor Ter 26 Jan 2021, 12:31

Elcioschin escreveu:Começando:

3.A + 2.B = 180º ---> I
A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C ---> II

3.II - I ---> 3.A - 3.A + 3.B - 2.B = 3.(180º - C) - 180 --->

B = 360º - 3.C -> III

I - 2.II ---> 3.A - 2.A + 2.B - 2.B = 180º - 2.(180º - C) --->

A = 2.C - 180º ---> IV 

Lei dos senos 

a/senA = b/senB = c/senC ---> 

a/sen(2.C - 180º) = b/sen(360º - 3.C) = c/senC

Lei dos cossenos:

a² = b² + c² - 2.b.c.cosA
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC

Tente completar
Olá Mestre, tentei desenvolver uma relação entre os lados a partir dessas informações mas não consegui encontrar nada, porém acho que consegui achar a resposta correta a partir de eliminação das alternativas
Edit:Corrigindo os erros, não é possível resolver por eliminação com este raciocínio
Se 3A+2B=180 e sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é180
Então
0< A< 60 e 0< B< 90
0< A+B <150
0 > -(A+B) > 150
180 > C > 30
0 < cos(B) < 1
b² = a² + c² - 2.a.c.cos(B)
0 < cos(B)=(a² + c² - b²)/2ac < 1
0 < a² + c² - b² < 2ac
b² <  a² + c²
a² >  b² - c²
Elimina-se a alternativa b


Última edição por Fëanor em Ter 26 Jan 2021, 15:07, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Elcioschin Ter 26 Jan 2021, 13:04

Gostei da sua solução!
Realmente, pela minha solução vai dar muito trabalho.
Quem sabe algum colega do fórum consegue nos ajudar com uma solução diferente.
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Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Vitor Ahcor Ter 26 Jan 2021, 13:20

Olá,


Já aproveitando as relações do Elcio, temos que: senA= -sen2C, sinB=-sin3C

Veja que: a=RsinA, b =RsinB, c=RsinC. Daí,

a² = R²*sin²A = R²*sin²(2C)
a² = R²*2sin(C)cos(C)*sin2C
a² = R²sin(C)*(2sin(2C)*cosC)
a² = R*c*(sin(3C)+sinC)
a² = c*(Rsin(3C)+Rsin(C))
a² = c*(-b+c)
a² = c² - bc. 

Obs: Feanor, na sua solução tem dois pequenos erros:

(i) Se A+B < 150° ⇒  C>30°
(ii) A<60° ⇒  cosA > 1/2

____________________________________________
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