Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Ir em baixo

Resolvido Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Fëanor Seg Jan 25 2021, 22:17

Os ângulos A e B de um triângulo ABC são relacionados pela expressão 3A+2B=180. Relacione a² com b e c, sabendo que a, b, c são as medidas dos lados do triângulo opostos aos ângulos dos vértices A, B e C, respectivamente.

a) a²=b²+c²
b)a²=b²-c²
c)a²=-bc+c²
d)a²=bc


Última edição por Fëanor em Ter Jan 26 2021, 15:17, editado 1 vez(es)
Fëanor
Fëanor
iniciante

Mensagens : 8
Data de inscrição : 22/11/2020

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Elcioschin Ter Jan 26 2021, 09:04

Começando:

3.A + 2.B = 180º ---> I
A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C ---> II

3.II - I ---> 3.A - 3.A + 3.B - 2.B = 3.(180º - C) - 180 --->

B = 360º - 3.C -> III

I - 2.II ---> 3.A - 2.A + 2.B - 2.B = 180º - 2.(180º - C) --->

A = 2.C - 180º ---> IV 

Lei dos senos 

a/senA = b/senB = c/senC ---> 

a/sen(2.C - 180º) = b/sen(360º - 3.C) = c/senC

Lei dos cossenos:

a² = b² + c² - 2.b.c.cosA
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC

Tente completar
Elcioschin
Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 59482
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 74
Localização : Santos/SP

Fëanor gosta desta mensagem

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Fëanor Ter Jan 26 2021, 12:31

@Elcioschin escreveu:Começando:

3.A + 2.B = 180º ---> I
A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C ---> II

3.II - I ---> 3.A - 3.A + 3.B - 2.B = 3.(180º - C) - 180 --->

B = 360º - 3.C -> III

I - 2.II ---> 3.A - 2.A + 2.B - 2.B = 180º - 2.(180º - C) --->

A = 2.C - 180º ---> IV 

Lei dos senos 

a/senA = b/senB = c/senC ---> 

a/sen(2.C - 180º) = b/sen(360º - 3.C) = c/senC

Lei dos cossenos:

a² = b² + c² - 2.b.c.cosA
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC

Tente completar
Olá Mestre, tentei desenvolver uma relação entre os lados a partir dessas informações mas não consegui encontrar nada, porém acho que consegui achar a resposta correta a partir de eliminação das alternativas
Edit:Corrigindo os erros, não é possível resolver por eliminação com este raciocínio
Se 3A+2B=180 e sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é180
Então
0< A< 60 e 0< B< 90
0< A+B <150
0 > -(A+B) > 150
180 > C > 30
0 < cos(B) < 1
b² = a² + c² - 2.a.c.cos(B)
0 < cos(B)=(a² + c² - b²)/2ac < 1
0 < a² + c² - b² < 2ac
b² <  a² + c²
a² >  b² - c²
Elimina-se a alternativa b


Última edição por Fëanor em Ter Jan 26 2021, 15:07, editado 1 vez(es)
Fëanor
Fëanor
iniciante

Mensagens : 8
Data de inscrição : 22/11/2020

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Elcioschin Ter Jan 26 2021, 13:04

Gostei da sua solução!
Realmente, pela minha solução vai dar muito trabalho.
Quem sabe algum colega do fórum consegue nos ajudar com uma solução diferente.
Elcioschin
Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 59482
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 74
Localização : Santos/SP

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Vitor Ahcor Ter Jan 26 2021, 13:20

Olá,


Já aproveitando as relações do Elcio, temos que: senA= -sen2C, sinB=-sin3C

Veja que: a=RsinA, b =RsinB, c=RsinC. Daí,

a² = R²*sin²A = R²*sin²(2C)
a² = R²*2sin(C)cos(C)*sin2C
a² = R²sin(C)*(2sin(2C)*cosC)
a² = R*c*(sin(3C)+sinC)
a² = c*(Rsin(3C)+Rsin(C))
a² = c*(-b+c)
a² = c² - bc. 

Obs: Feanor, na sua solução tem dois pequenos erros:

(i) Se A+B < 150° ⇒  C>30°
(ii) A<60° ⇒  cosA > 1/2
Vitor Ahcor
Vitor Ahcor
Fera
Fera

Mensagens : 557
Data de inscrição : 21/12/2018
Idade : 20
Localização : Sorocaba, SP

Fëanor gosta desta mensagem

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Voltar ao Topo Ir em baixo

Voltar ao Topo


 
Permissão deste fórum:
Você não pode responder aos tópicos neste fórum