Relação entre lados e ângulos de um triângulo
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PiR2 :: Matemática :: Trigonometria
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Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Os ângulos A e B de um triângulo ABC são relacionados pela expressão 3A+2B=180. Relacione a² com b e c, sabendo que a, b, c são as medidas dos lados do triângulo opostos aos ângulos dos vértices A, B e C, respectivamente.
a) a²=b²+c²
b)a²=b²-c²
c)a²=-bc+c²
d)a²=bc
a) a²=b²+c²
b)a²=b²-c²
c)a²=-bc+c²
d)a²=bc
Última edição por Fëanor em Ter 26 Jan 2021, 15:17, editado 1 vez(es)
Fëanor- Iniciante
- Mensagens : 15
Data de inscrição : 22/11/2020
Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Começando:
3.A + 2.B = 180º ---> I
A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C ---> II
3.II - I ---> 3.A - 3.A + 3.B - 2.B = 3.(180º - C) - 180 --->
B = 360º - 3.C -> III
I - 2.II ---> 3.A - 2.A + 2.B - 2.B = 180º - 2.(180º - C) --->
A = 2.C - 180º ---> IV
Lei dos senos
a/senA = b/senB = c/senC --->
a/sen(2.C - 180º) = b/sen(360º - 3.C) = c/senC
Lei dos cossenos:
a² = b² + c² - 2.b.c.cosA
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC
Tente completar
3.A + 2.B = 180º ---> I
A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C ---> II
3.II - I ---> 3.A - 3.A + 3.B - 2.B = 3.(180º - C) - 180 --->
B = 360º - 3.C -> III
I - 2.II ---> 3.A - 2.A + 2.B - 2.B = 180º - 2.(180º - C) --->
A = 2.C - 180º ---> IV
Lei dos senos
a/senA = b/senB = c/senC --->
a/sen(2.C - 180º) = b/sen(360º - 3.C) = c/senC
Lei dos cossenos:
a² = b² + c² - 2.b.c.cosA
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC
Tente completar
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73164
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Fëanor gosta desta mensagem
Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Olá Mestre, tentei desenvolver uma relação entre os lados a partir dessas informações mas não consegui encontrar nada, porém acho que consegui achar a resposta correta a partir de eliminação das alternativasElcioschin escreveu:Começando:
3.A + 2.B = 180º ---> I
A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C ---> II
3.II - I ---> 3.A - 3.A + 3.B - 2.B = 3.(180º - C) - 180 --->
B = 360º - 3.C -> III
I - 2.II ---> 3.A - 2.A + 2.B - 2.B = 180º - 2.(180º - C) --->
A = 2.C - 180º ---> IV
Lei dos senos
a/senA = b/senB = c/senC --->
a/sen(2.C - 180º) = b/sen(360º - 3.C) = c/senC
Lei dos cossenos:
a² = b² + c² - 2.b.c.cosA
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC
Tente completar
Edit:Corrigindo os erros, não é possível resolver por eliminação com este raciocínio
Se 3A+2B=180 e sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é180
Então
0< A< 60 e 0< B< 90
0< A+B <150
0 > -(A+B) > 150
180 > C > 30
0 < cos(B) < 1
b² = a² + c² - 2.a.c.cos(B)
0 < cos(B)=(a² + c² - b²)/2ac < 1
0 < a² + c² - b² < 2ac
b² < a² + c²
a² > b² - c²
Elimina-se a alternativa b
Última edição por Fëanor em Ter 26 Jan 2021, 15:07, editado 1 vez(es)
Fëanor- Iniciante
- Mensagens : 15
Data de inscrição : 22/11/2020
Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Gostei da sua solução!
Realmente, pela minha solução vai dar muito trabalho.
Quem sabe algum colega do fórum consegue nos ajudar com uma solução diferente.
Realmente, pela minha solução vai dar muito trabalho.
Quem sabe algum colega do fórum consegue nos ajudar com uma solução diferente.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73164
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Re: Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Olá,
Já aproveitando as relações do Elcio, temos que: senA= -sen2C, sinB=-sin3C
Veja que: a=RsinA, b =RsinB, c=RsinC. Daí,
a² = R²*sin²A = R²*sin²(2C)
a² = R²*2sin(C)cos(C)*sin2C
a² = R²sin(C)*(2sin(2C)*cosC)
a² = R*c*(sin(3C)+sinC)
a² = c*(Rsin(3C)+Rsin(C))
a² = c*(-b+c)
a² = c² - bc.
Obs: Feanor, na sua solução tem dois pequenos erros:
(i) Se A+B < 150° ⇒ C>30°
(ii) A<60° ⇒ cosA > 1/2
Já aproveitando as relações do Elcio, temos que: senA= -sen2C, sinB=-sin3C
Veja que: a=RsinA, b =RsinB, c=RsinC. Daí,
a² = R²*sin²A = R²*sin²(2C)
a² = R²*2sin(C)cos(C)*sin2C
a² = R²sin(C)*(2sin(2C)*cosC)
a² = R*c*(sin(3C)+sinC)
a² = c*(Rsin(3C)+Rsin(C))
a² = c*(-b+c)
a² = c² - bc.
Obs: Feanor, na sua solução tem dois pequenos erros:
(i) Se A+B < 150° ⇒ C>30°
(ii) A<60° ⇒ cosA > 1/2
____________________________________________
Cha-la head-cha-la
Vitor Ahcor- Monitor
- Mensagens : 780
Data de inscrição : 21/12/2018
Idade : 24
Localização : Taurdal
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