IME 1955/1956

por natanlopes_17 Seg 14 Dez 2020, 17:39

Mais uma vez achei uma questão no PDF do livro "A matemática no vestibular do IME 1944-2011" mas não possui o gabarito, por isso queria confirmar se está certo.

Determinar os valores inteiros de x,y e z que verificam o sistema:

[latex]\log_{2}y+\log_{x}z=8\: \: \: \: \: \: \: \: \: y=x^{2}\, \, \, \, \, \, \, \, x=\sqrt[3]{z}/2[/latex]

Meu gabarito:

x={2}

y={4}

z={64}

Se desejarem eu disponibilizo a resolução.

por **Elcioschin** Seg 14 Dez 2020, 18:43

y = x² ---> I

x = ∛z/2 --> ∛z = 2.x ---> z = (2.x)³ --> z = 8.x³ ---> II

log₂y + log_xz = 8 ---> I e II ---> log₂(x²) + log_x(2³.x³) = 8 --->

Mudando a base x para 2 ---> 2.log₂x + log₂(2³.x³)/log₂x = 8 --->

2.log₂x + [log₂(2³)+ log₂(x³)]/log₂x = 8 --->

2.log₂x + (3 + 3.log₂x)/log₂x = 8 ---> *log₂x ---> 2.(log₂x)² - 5.log₂x + 3 = 0

Raízes:

1) log₂x = 1 ---> x = 2 --> y = 4 --> z = 64

2) log₂x = 3/2 ---> x = 2^3/2 ---> x = 2.√2 --> y = 8 ---> z = 128.√2

por natanlopes_17 Seg 14 Dez 2020, 23:12

Fiz dessa forma e deu x=8

por natanlopes_17 Seg 14 Dez 2020, 23:13

essa foi a primeira forma na qual eu fiz

por **Elcioschin** Ter 15 Dez 2020, 14:18

Acho que sua digitação x = ∛z/2 pode estar errada.
O correto pode ser x = ∛(z/2). Por favor confira.

Se for isto ---> x³ = z/2 ---> z = 2.x³ (ao invés de 8.x³)

Tente completar.

Fiz uma pequena correção na minha solução original (eliminando 2 do denominador)

por natanlopes_17 Ter 15 Dez 2020, 14:58

Olá !! Perdão pela demora. Esta digitado da forma certa

por **Elcioschin** Ter 15 Dez 2020, 17:28

Vou então completar minha resposta na minha solução.

Note que existe outra solução mas não atende porque não são números inteiros.

Sua solução, portanto está correta.
Mas tenho uma sugestão de melhoria:

Você usou uma incógnita auxiliar y = log₂x
Mas não deveria denominar como y esta incógnita auxiliar, porque confunde com a grandeza y do enunciado. Poderia chamar, por exemplo, de w, k, etc.