(IME - 1956) Geometria

As bases de um trapézio isósceles são AB=a e CD=3a e a altura mede a. A partir dos pontos E e F, médios dos lados não paralelos, levantam-se, no mesmo sentido, as perpendiculares ao plano da figura: EM=3a e FN=4a. Por meio de segmentos retilíneos, unem-se os seguintes pontos: M a N; cada um destes aos pontos P e Q, médios das bases do trapézio; P a Q. Pede-se calcular, em função de a, o volume do tetraedro MNPQ.

É necessário um bom desenho. Vou começar:

Base média EF = 2a

Ângulos do trapézio ----> ^C = ^D = 45º -----> Â = ^B = 135º

Lados oblíquos do trapézio -----> BC = AD = a*\/2

Lei dos cossenos nos triângulos AEQ e CFP

AEQ ----> EQ² = AE² + AQ² - 2*AE*AQ*cos ----> EQ² = (a*\/2/2)² + (a/2)² - 2*(a*\/2/2)*(a/2)*(-\/2/2) ---->

EQ² = a²/2 + a²/4 + a²/2 ----> EQ² = 5*a²/4 ----> EQ = a*\/5/2

CFP ----> FP² = CF² + CP² - 2*CF*CP*cosB ----> FP² = (a*\/2/2)² + (3a/2)² - 2*(a*\/2/2)*(3a/2)*(\/2/2) ---->

FP² = a²/2 + 9a²/4 + 3a²/2 ----> FP² = 17*a²/4 ----> FP = a*\/17/2

No triângulo retângulo MEQ ----> MQ² = ME² + EQ² ----> MQ² = (3a)² + 5a²/4 ----> MQ = a*\/14/2

No triângulo retângulo NFQ ----> NQ² = NF² + FQ² -----> NQ² = (4a)² + 5a²/4 ----> NQ = a*\/21/2

Idem para triângulos retângulos MEP e NFP ----> Calcula MP e NQ

Cálculo de MN ----> MN² = EF² + (NF - ME)² -----> MN² = (2a)² + (4a -3a)² ----> MN = a\/5

Por favor incluam o desenho e confiram as contas. Falta apenas calcular o volume do tetraedro irregular.