(ITA-1956) Raízes sempre distintas

por **Jigsaw** Qua 18 Out 2023, 20:22

2.1) Demonstrar que [latex](a-1)x^2-(a+5)x-a=0[/latex] admite raízes sempre distintas, qualquer que seja o valor real de [latex]a[/latex].

Spoiler:

por **Giovana Martins** Qua 18 Out 2023, 20:50

∆ < 0: P(x) tem duas raízes complexas conjugadas;

∆ = 0: P(x) tem duas raízes reais e iguais.

∆ > 0: P(x) tem duas raízes reais e distintas.

∆ = (- a - 5)² - [(4) x (a - 1) x (- a)] = 5a² + 6a + 25 = f(a)

Note que o discriminante de P(x) = (a - 1)x² - (a + 5)x - a depende da variável a.

Por sua vez, note que o discriminante de f(a) é ∆ = (6)² - 4 x 5 x 25 = - 464. Sendo o coeficiente do termo de maior grau de f(a) igual 5 e, portanto, maior que zero, além do fato de que ∆ = - 464, f(a) é maior que zero para todo "a" real.

Como f(a) > 0 para todo "a" real, logo, o discriminante de P(x) que depende de "a" será maior que zero para todo "a" real.

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