(UEPG PSS - 2014) Polinômios

por eivitordias Ter 03 Nov 2020, 05:54

Assinale o que for correto.

02) Sabendo que o resto da divisão de polinômio P(x) por (x – 3)³ é o polinômio R(x) e que o resto da divisão de R(x) por x – 3 é igual a –3, então o valor
de P(3) é um número ímpar e natural.
08) Se uma das raízes de uma equação do terceiro grau, com coeficientes reais, é a + ai (a∈R) e a soma das demais raízes dessa equação é 6 – 2i, então o produto dessas raízes é 32.

Spoiler:

por **Victor011** Ter 03 Nov 2020, 09:30

Olá eivitordias! Smile

02) P(x) = (x-3)³.Q1(x) + R(x)
R(x) = (x-3).Q2(x) - 3
→ P(x) = (x-3)³.Q1(x) + (x-3).Q2(x) - 3
P(3) = - 3 (~~não é necessariamente impar e natural, uma vez que depende do valor que a assume~~)

08) Se a + ai é raiz, então a - ai também é. Chamando a terceira raiz de b (perceba que ela deve ser real, pois raízes complexas sempre vem em pares conjugados):

a - ai + b = 6 - 2i
→ a = 2 e b = 4

Produto das raízes:
(a+ai).(a-ai).b = 2.a².b = 2.4.4 = 32

por eivitordias Ter 03 Nov 2020, 13:06

Victor011 escreveu:Olá eivitordias!

02) P(x) = (x-3)³.Q1(x) + R(x)
R(x) = (x-3).Q2(x) + a - 3
→ P(x) = (x-3)³.Q1(x) + (x-3).Q2(x) + a - 3
P(3) = a - 3 (não é necessariamente impar e natural, uma vez que depende do valor que a assume)

08) Se a + ai é raiz, então a - ai também é. Chamando a terceira raiz de b (perceba que ela deve ser real, pois raízes complexas sempre vem em pares conjugados):

a - ai + b = 6 - 2i
→ a = 2 e b = 4

Produto das raízes:
(a+ai).(a-ai).b = 2.a².b = 2.4.4 = 32

Muito obrigado Victor, consegui entender perfeitamente o item 08!! Very Happy

Só uma correção, no item 02 o valor não seria (a-3) e sim apenas (-3). Acredito que daí a resolução seria diferente, né? Eu deveria ter colocado entre parênteses no enunciado, admito que ficou passível de confusão silent

por **Elcioschin** Ter 03 Nov 2020, 13:27

Basta alterar ---> P(3) = - 3 ---> É ímpar mas não é natural

por **Victor011** Ter 03 Nov 2020, 13:32

É verdade eivitordias! Foi uma falta de atenção minha kkkkkk não sei porque li "a-3" ao invés de "-3", mas é exatamente o que o mestre Elcioschin falou.