Números Complexos

por Tomaz1 Sex 23 Out 2020, 14:31

Efomm/ 2018

Resolvendo 1+i+i²+...+i(elevado a n), com n= 4k+1 e k ∈ ℤ (n inteiros) obtemos?

R: 1+i

Qual a melhor maneira de resolver esse tipo de questão ?

por **Victor011** Sex 23 Out 2020, 15:06

Olá Sarah08 ! Smile

Para fazer essa questão tem que saber que as potências do número complexo i são cíclicas, ou seja, tem um padrão (que se repete de 4 em 4 termos). Veja:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1 = i⁰(a partir daqui repete os mesmos valores)
...

Como a soma vai até o termo de grau 4k + 1, teremos 4k + 2 termos somando. Perceba que de 4 em 4 termos a soma zera (1 + i - 1 - i = 0), e com isso sobrará apenas os 2 últimos termos dos 4k +2, que pela periodicidade, possuem valor 1 e i (mesmos valores de i⁰ e i¹). Portanto, a soma será 1 + i.

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