Equação da Elipse
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Equação da Elipse
por MarkZumbi Seg 12 Out 2020, 01:03
Encontrar a equação da elipse no seguinte caso: Focos (1, 4) e (3, 4) e comprimento do eixo maior sendo igual a 4.
desconheço o gabarito.
desconheço o gabarito.
MarkZumbi- Iniciante
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Re: Equação da Elipse
por pepelinear Seg 12 Out 2020, 08:43
F1= (1, 4); F2= (3, 4).
Como o centro da elipse é equidistante dos focos (xc=2), na reta determinada por eles (yc=4), temos suas coordenadas:
C= (2,4).
Além disso, a partir das coordenadas dos focos, determina-se a distância focal:
d²= ∆x² + ∆y² ⇒ d²= (3 - 1)² + (4 - 4)² ⇒ d²= 2² ⇒ d= 2.
Como a distância focal é definida por 2f, temos:
d= 2f= 2 ⇒ f=1.
O eixo maior, por outro lado, escreve-se como 2a; com "a" sendo o comprimento do semi-eixo maior:
2a= 4 ⇒ a=2.
Portanto, usando a importante equação da elipse, que relaciona a distancia focal com a medida dos eixos:
a² = b² + f² ⇒ 2²= 1² + b² ⇒ b²= 3.
Por fim, escreve-se a equação da elipse:
(x - xc)²/a² + (y - yc)²/b² = 1
(x - 2)²/4 + (y - 4)²/3 = 1.
Obs: o comprimento do semi-eixo maior "a" dividirá (x - xc)² quando a reta determinada pelos focos for paralela ao eixo x (elipse "deitada"); dividindo, portanto, (y - yc)² quando a reta determinada pelos focos for paralela ao eixo y (elipse "em pé"). Neste caso, é necessário que "a" divida (x - xc)²; tendo em vista que os focos são contidos na reta y=4, que é paralela ao eixo x.
Como o centro da elipse é equidistante dos focos (xc=2), na reta determinada por eles (yc=4), temos suas coordenadas:
C= (2,4).
Além disso, a partir das coordenadas dos focos, determina-se a distância focal:
d²= ∆x² + ∆y² ⇒ d²= (3 - 1)² + (4 - 4)² ⇒ d²= 2² ⇒ d= 2.
Como a distância focal é definida por 2f, temos:
d= 2f= 2 ⇒ f=1.
O eixo maior, por outro lado, escreve-se como 2a; com "a" sendo o comprimento do semi-eixo maior:
2a= 4 ⇒ a=2.
Portanto, usando a importante equação da elipse, que relaciona a distancia focal com a medida dos eixos:
a² = b² + f² ⇒ 2²= 1² + b² ⇒ b²= 3.
Por fim, escreve-se a equação da elipse:
(x - xc)²/a² + (y - yc)²/b² = 1
(x - 2)²/4 + (y - 4)²/3 = 1.
Obs: o comprimento do semi-eixo maior "a" dividirá (x - xc)² quando a reta determinada pelos focos for paralela ao eixo x (elipse "deitada"); dividindo, portanto, (y - yc)² quando a reta determinada pelos focos for paralela ao eixo y (elipse "em pé"). Neste caso, é necessário que "a" divida (x - xc)²; tendo em vista que os focos são contidos na reta y=4, que é paralela ao eixo x.
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