Série convergente

Considere \(p_n(x) = 1 +x^{2^n}\) e \(f_n(x) = \ln p_{n}(x)\). Dessa forma, a série  \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x) \) converge para \( f(x) = -\ln (1-x) \), desde que |x| < 1. De fato,

\(\displaystyle \sum_{n=0}^N f_n(x) = \ln (1+x) + \ln (1+x^2) + \cdots + \ln (1+x^{2^N}) = \ln \left( \dfrac{(1-x)(1+x)(1+x^2) \cdots (1+x^{2^N})}{1-x} \right) \implies \)

\( \displaystyle \lim_{N \to \infty} \sum_{n= 0}^N f_n(x)  = \lim_{N \to \infty} \ln \left( \dfrac{ 1 - x^{2^{N+1}}}{1-x} \right)  = \ln \left( \lim_{N \to \infty} \dfrac{ 1 - x^{2^{N+1}}}{1-x} \right) = \ln \left( \dfrac{1}{1-x}\right) \)


Cada uma das funções \(f_n(x)\) é diferenciável. Além disso, a série  \( \displaystyle \sum_{n = 0}^\infty f'_n(x) \) converge uniformemente em qualquer intervalo compacto \(K \subset (-1,1)\). Vamos verificar essa afirmação. Sendo \(K = [-\lambda, \lambda]\) com \( 0< \lambda < 1\) segue que:

\( \displaystyle f_n'(x) = \dfrac{p'_{n}(x)}{p_{n}(x)} = \dfrac{2^n x^{2^n - 1}}{1+x^{2^n}} \implies |f_n'(x)| \leq 2^n \lambda^{2^n - 1} \)

Como a série \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^n \lambda^{2^n -1} \) converge, segue do teste M de Weierstrass que \(\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty f'_n(x)\) converge uniformemente em K.

Isso implica que vale a convergencia da série das derivadas, isto é, para |x|  <1 temos

\( f_0'(x) + f_1'(x) + f_2'(x) + \cdots = f'(x)  \implies \)

\( \boxed{ \frac{1}{1+x}+\frac{2x}{1+x^2}+\frac{4x^3}{1+x^4}+\frac{8x^7}{1+x^8}+\cdots =\frac{1}{1-x}}\)