Progressão Geométrica-Série Convergente

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 10:47

A cada três sucções de uma bomba a vácuo, consegue-se retirar 5% de certo gás existente em um recipiente.Aproximadamente, quantas sucções serão necessárias para retirar cerca de 99% desse gás do recipiente?
(Dado: log 0,95=-0,0222.)

R=273 sucções.

por **Elcioschin** Dom 18 Fev 2018, 11:02

1ª sução 0,05 ---> Resta 0,95
2ª sução 0,05 ---> Resta 0,95²
............................................
nª sução 0,05 ---> Resta 0,01.x

0,95^n/3 = 0,01

(n/3).log0,95 = log1/100

(n/3).(-0,00222) = - 2

n = 3.2/0,0222

n ~= 270,3

Mais três suções ---> 273

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 12:26

Elcioschin escreveu:1ª sução 0,05 ---> Resta 0,95
2ª sução 0,05 ---> Resta 0,95²
............................................
nª sução 0,05 ---> Resta 0,01.x

0,95^n/3 = 0,01

(n/3).log0,95 = log1/100

(n/3).(-0,00222) = - 2

n = 3.2/0,0222

n ~= 270,3

Mais três suções ---> 273

Entendi os cálculos, mas porquê foram adicionadas 3 sucções no final?

por **Elcioschin** Dom 18 Fev 2018, 13:17

Tem que ser um valor inteiro superior a 270.
Considerando que a cada vez são 3 sucções: 270 + 3 = 273

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 13:30

Entendi isso, mas acho que as aproximações nos levaram á "um pouco mais além do que o necessário".

270 sucções:
0,95^(n/3)
0,95^(270/3)
0,95⁹⁰≃0,009888

Em %:
0,009888*100%
0,9%<(100-99)%
0,9%<1%

Estou certo, ou o gabarito está realmente correto?

por **Euclides** Dom 18 Fev 2018, 20:06

O gabarito e o Élcio estão corretos. O número de sucções tem de ser um valor inteiro, múltiplo de 3.

Para n=270 - (ver cálculo feito eletronicamente)

Progressão Geométrica-Série Convergente Hf5SHenosWWJKeoFMQKqtT5waJtw63jPqLjFXlZC+SlhCS7dWHmtNSS+QCYifTloOyOsbdZeYyzukLzLF6uwh7dkTW0p6gUxAXHTyNAF5c6wvazu80bapdPoEqxIewJf3T14cB53cF61tB+TN85wUdRfpuaRYveRkmvTYZxQTi5iSXiATCgedPFVA3jzP7Sff8RG+lmP1ljGivN2hT05MSS+QCcFrnu+i0aJHjukYHdZJgNC0DAN0VienyqFpGeZGZ3XCMAFhnTCMHdYJw9hhnTCMHdYJw9hhnTCMHdYJw9hhnTCMHdYJw9j5D85fXMLWj7fwAAAAAElFTkSuQmCCAA==

Progressão Geométrica-Série Convergente Hf5SHenosWWJKeoFMQKqtT5waJtw63jPqLjFXlZC+SlhCS7dWHmtNSS+QCYifTloOyOsbdZeYyzukLzLF6uwh7dkTW0p6gUxAXHTyNAF5c6wvazu80bapdPoEqxIewJf3T14cB53cF61tB+TN85wUdRfpuaRYveRkmvTYZxQTi5iSXiATCgedPFVA3jzP7Sff8RG+lmP1ljGivN2hT05MSS+QCcFrnu+i0aJHjukYHdZJgNC0DAN0VienyqFpGeZGZ3XCMAFhnTCMHdYJw9hhnTCMHdYJw9hhnTCMHdYJw9hhnTCMHdYJw9j5D85fXMLWj7fwAAAAAElFTkSuQmCCAA==

273 sucções, portanto.

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 21:00

Euclides escreveu:O gabarito e o Élcio estão corretos. O número de sucções tem de ser um valor inteiro, múltiplo de 3.

Para n=270 - (ver cálculo feito eletronicamente)

273 sucções, portanto.

Foi o mesmo cálculo que eu fiz para provar que 270 sucções é a resposta.
0,00988=0,988%

Quantidade de gás que sobrou:
100%-0,988%
99,012%

99,012%>99%
Não entendo porquê meu raciocínio está incorreto.

por **Euclides** Dom 18 Fev 2018, 21:04

porque 0,9888<0,99. O valor ainda não foi alcançado.

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 21:12

Euclides escreveu:porque 0,9888<0,99. O valor ainda não foi alcançado.

A expressão 2^(n/3) indica a quantidade(em decimal) de gás que ainda resta no recipiente.

Para restar 1%:
1%=(1/100)=0,01

0,01>0,009888
A quantidade de gás que resta(com 270 sucções) é menor que 1%, isso é visível.

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 21:19

Para encerrar as dúvidas:

Equação:
0,95^(n/3)<0,01
(n/3)*log 0,95 < log (1/100)
(n/3)*log 0,95<-2
n*log 0,95<-6
n<(-6/log 0,95)
n>269,343
n>270 sucções