Produto misto e vetorial

Alguem me ajuda a resolver essa questão por favor. 

Mostre que u = (x,y,z) v = (a,b,c) sao paralelos se e somente se u x v= (0,0,0)

Olá, nuneswilson. Geralmente prova-se expressões que envolvem se e somente se provando a "ida" e depois a "volta". Para a ida, provaremos que se u e v são paralelos, então u x v = (0,0,0). Veja:

[latex]\\\vec{u}\;e\;\vec{v}\;paralelos\;\rightarrow\;\vec{u}=k.\vec{v}\;,\;k\in\mathbb{R} \\\\\rightarrow\;\vec{u}=(x,y,z)=(k.a,k.b,k.c) \\\\\vec{u}\times \vec{v}=(yc-zb)i+(za-xc)j+(xb-ya)k \\\\\rightarrow\;\vec{u}\times \vec{v}= (0,0,0)[/latex]

Para a volta, provaremos que se  u x v = (0,0,0), então u e v são paralelos:

[latex]\\\\\vec{u}\times \vec{v}=(yc-zb)i+(za-xc)j+(xb-ya)k= (0,0,0) \\\\\rightarrow\;\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k,\;k\in\mathbb{R} \\\\\;\rightarrow\;(x,y,z)=(k.a,k.b,k.c)\;\rightarrow\;\vec{u}=k.\vec{v} \\\\\;\rightarrow\;\vec{u}\;e\;\vec{u}\;paralelos[/latex]

Agora vamos aos "formalismos" matemáticos:
Veja que essa última parte foi feita considerando a, b e c diferentes de zero, já que eles estão no denominador da igualdade. Formalmente, deve se analisar os casos em que cada um deles é zero. Se um deles for zero (o b por exemplo) ou y = 0 de modo que a igualdade y=k.b continua valendo, ou a e c também são nulos e o vetor u é o vetor nulo. Veja portanto que o caso em que o vetor u ou o vetor v são nulos também satisfazem u x v = 0, e o vetor nulo é paralelo à qualquer vetor (basta fazer k = 0), de modo que a expressão se e somente se continua válida para esses casos.