(EN-2013)Trigonometria

Não consegui pensar em nenhuma solução algébrica para isso, mas podemos pensar em uma solução mais elegante.

[latex]sin(\frac{1}{x})=x-2[/latex]


A esquerda, temos uma função trigonométrica e a direita uma reta.


O que podemos concluir disso?

Bom, o aspecto da função seno a gente conhece, o que dizer sobre sin(1/x)?


Se x cresce arbitrariamente, o sin tende a zero, se x decresce arbitrariamente a função tende a zero, então, tanto a esquerda quanto a direita, temos assintotas horizontais (retas que que tendem a 0 mas nunca são atinge 0)

Outra coisa importante, a esquerda temos uma função limitada, no intervalo -1,1, a direita temos uma função não limitada.


Vamos descobrir onde a função da direita já cortou o gráfico:


y=x-2

Para y=1 e y=-1,   x=3 e x=1 respectivamente.



Vamos deduzir o comportamento da função sin(1/x). Se x está próximo de 0, 1/x tende ao infinito, se x está próximo de 1, 1/x tende a 1, então, no intervalo ]0,1] a função 1/x fica no intervalo [1,∞[. Então, nesse intervalo a função oscila entre 0 e 1 inúmeras vezes. Se x=1, a função está em sin(1/1)=sin(1), isso é um pouco menor que pi/2, então a função está próxima de 1, mas o que ocorre se x cresce no intervalo [1,3]?


Se x>1, a função 1/x decresce rapidamente  e não volta a crescer, pois agora, 1/x tende a zero, sin(1/x) tende a zero, então, no intervalo x>1, com certeza a função não oscila mais. Se não oscila mais, com certeza a reta só vai cortar a função uma vez.



Novamente:   Se x>1, 1/x tende a 0, se 1/x tende a zero, sin(1/x) tende a zero, então, com certeza para x>1, a função não oscila, o comportamento é parecido com a função 1/x *. Então, a reta só pode cortar uma vez a função, pois a reta entra no domínio no intervalo [1,3].


Nota*: Cabe lembrar do limite fundamental [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1[/latex]. Esse limite  diz que, se x é arbitrariamente pequeno, sin(x)=x.  Se x>2 (com certeza não tem intersecção antes nem nesse ponto, esse ponto a reta corta o eixo x), a função já está bem próxima de 0, de modo que podemos considerar sin(1/x)=1/x


A questão se resume na intersecção do ramo de hipérbole 1/x positivo com a reta x-2. A hipérbole e a reta são São não oscilam, a intersecção é apenas uma com certeza.

Abaixo deixei o comportamento em roxo da função sin(1/x), em verde do ramo de hipérbole 1/x e em cinza a reta. Note que a aproximação do limite fundamenta já é aceitável para x>1.