distribuição de carga positiva

por Arnaldo Dom 04 Set 2011, 12:34

Uma distribuição de carga positiva tem a forma de um arco semicircular de raio 60 cm.A carga por unidade de comprimento λ é constante .Sendo a carga total sobre o semicirculo é de 12µC ,calcule a força total sobre uma carga de 3µC colocada no centro curvatura do arco.

por **Euclides** Dom 04 Set 2011, 15:06

É fácil perceber que as componentes ao longo do eixo x se anularão mutuamente. A força total resultante está no eixo y e é o dobro da força devida a um quadrante:

$\dpi{120} \fn_cm \lambda=\frac{Q}{\pi r}$

$\dpi{120} \fn_cm \\dQ=\lambda ds\;\;\;\;\;\;ds=rd\theta\;\;\to\;\;dQ=\lambda rd\theta\\\\F=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{kqdQ}{r^2}sen\theta d\theta\;\;\;\to\;\;F=2\cdot\frac{kq}{r^2}\cdot\lambda r\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen\theta d\theta\\\\ {\color{DarkRed} F=2\cdot\frac{kq\lambda}{r}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen\theta d\theta }\;\;\to\;\;F=2\cdot\frac{kQq}{\pi r^2}$

por Arnaldo Dom 04 Set 2011, 15:23

Bela solução Euclides , só uma dúvida os limites de integração num era para ser de 0º a 180º.

por **Euclides** Dom 04 Set 2011, 15:34

Integrar seno de 0 a 180 induz a erro. A integração

$\dpi{120} \fn_cm 2\times\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

contorna o problema.

por Arnaldo Dom 04 Set 2011, 16:30

Ok , mestre muito obrigado não sabia disso ñ.

por **Euclides** Dom 04 Set 2011, 16:55

Só para você não ficar "viajando" veja:

$\dpi{120} \fn_cm \int_{0}^{\pi}sen\theta\,d\theta=sen(\pi)-sen(0)=0!!!$

$\dpi{120} \fn_cm \\\int_{0}^{\pi}sen\theta\,d\theta={\color{Red} sen}(\pi)-{\color{Red} sen}(0)=0!!!\\\\ \text{em {\color{Red} vermelho}: ERRO}$

desconsiderar e ver a sequência do post.

por Pedro Ken Dom 04 Set 2011, 18:59

Euclides , o senhor passou batido na parte da integral pq a integral do seno é o cosseno ,aí dá para integrar de 0 a 180.O senhor concorda.

por **Euclides** Dom 04 Set 2011, 19:20

Pedro Ken escreveu:Euclides , o senhor passou batido na parte da integral pq a integral do seno é o cosseno ,aí dá para integrar de 0 a 180.O senhor concorda.

Vixe Maria!! é sim. A integral do seno é -cos!!! Valeu por estar atento. Só prá não ficar aquela besteira tão explícita:

$\dpi{120} \fn_cm \\\int_{0}^{\pi}sen\theta\,d\theta=\left ( -cos\theta \right )_0^\pi=-cos(\pi)-(-cos(0))=2\\\\\\2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen\theta\,d\theta=2\left (-cos\theta \right )_0^{\frac{\pi}{2}}=2\left ( -cos(\pi/2)-(-cos(0)) \right )=2$

O problema que eu mencionei ocorre na integração de cos(x) de 0 a pi.

PS: na solução da questão eu forneci a resposta correta.