Divisibilidade

Suponha que n >1. Mostre que a soma dos inteiros positivos não excedendo n divide o produto dos inteiros positivos não excedendo n se, e somente se, n é composto

S = 1 + 2 + 3 + ......... + (n - 1) ---> Soma de uma PA:

S = (a₁ + a_n-1).(n - 1)/2 ---> S = (1 + n - 1).(n - 1)/2 --> S = n.(n - 1)/2

P = 1.2.3. ..... .(n-1) ---> P = (n - 1)!

-P ....... (n - 1)! .......(n - 1).(n - 2)! ... 2.(n - 2)!
--- = -------------- = ----------------- = -----------
-S .... n.(n - 1)/2 ...... n.(n - 1)/2 ............ n

Para n = 3 ---> P/S = 2/3 ----> Não serve
Para n = 4 ---> P/S = 1 ---> OK
Para n = 5 ---> P/S = 12/5 ---> Não serve
Para n = 6 ---> P/S = 8 ---> OK

Para todo número n primo ---> não serve
Logo, só serve ser se n for composto 

O ideal é provar isto para todos os valores de n
Um alerta: para n = 2 ---> P/S = 1 ---> Isto viola a Regra

Uma ideia do que pode ser feito pra se provar isso é, considerando o que o Elcioschin havia calculado, vou considerar para n > 2, como o Elcioschin havia dito, para n igual a 2 isso já não vale.

P/S = 2.(n-2)!/n

Vamos provar a ida, considere que a soma dos inteiros positivos não excedendo n divide o produto dos inteiros positivos não excedendo n.
Suponha que n seja um número primo, considerando n maior que 2, então n é um primo maior que 2, logo n não divide 2, então n deve dividir (n-2)!, desde que (n-2)! é o produto dos inteiros positivos menores ou iguais a n-2, desde que n é primo, então ele deve dividir pelo menos 1 desses fatores presente na multiplicação, porém eles são menores que n-2, logo é menor que n, portanto nenhum desses fatores é divisível por n, portanto n não divide o (n-2)!, o que é um absurdo, logo n deve ser composto.

Para a volta, considere que n é um número composto, escreva n = xy, temos que x e y são menores que n, obviamente n-1 não divide n, logo nem x nem y podem ser iguais a n-1 (estou considerando n > 2), logo se x for diferente de y, desde que x e y são menores que n, então x e y aparecem no produto (n-2)! = 1.2...(n-2), portanto n divide (n-2)!, se x for igual a y, vamos considerar y = x, então n = x², como o Elcioschin falou, para o caso de n igual a 4 já está provado, então vamos considerar agora para o caso de n > 4, perceba que sendo n > 4, então x é maior ou igual 3, daí n = x² é maior ou igual a 3x, perceba agora que x aparece em (n-2)! como havia falado acima, perceba também que 2x < 3x - 3 ≤ n - 3 < n-2, portanto 2x < n-2, daí temos que 2x aparece também em (n-2)!, logo (n-2)! é divisível por x² = n, como para todos os casos possíveis para n, temos que n divide (n-2)!, então n divide 2.(n-2)!.

Espero que tenha ficado entendível kkk, qualquer coisa é só perguntar, se tiver alguma coisa errada também é só falar kkk

A ideia que eu tive, é que, se n é primo maior que dois, temos que n|2(n-2)! => n|(n-2)!. Queremos provar que isso é um absurdo. Logo, n|1*2*...*(n-3)(n-2). Como, (n-2)! não é, claramente, múltiplo de n, então ele não será divisível por n.