Divisibilidade

por John von Neumann jr Sex 05 Fev 2016, 16:58

Encontre todos os inteiros positivos n tais que n + 2009 divide n^2 + 2009 e n + 2010 divide n^2 + 2010.

por **gilberto97** Sex 05 Fev 2016, 17:39

Olá Jonh.

Isso pode ajudar:

" d divide": Se d|a e d|b, então d|ax+by para qualquer combinação linear ax+by de a e b com coeficientes x,y inteiros.

"Limitação": Se d|a, então a=0 ou |d|≤|a|.

A partir daqui fica muito fácil resolver esse problema. Dica: Faça n+2009|n+2009 e n+2010|n+2010.

por Pedro Prado Sex 05 Fev 2016, 20:00

John von Neumann jr escreveu:Encontre todos os inteiros positivos n tais que n + 2009 divide n^2 + 2009 e n + 2010 divide n^2 + 2010.

Vi essa questão a 1ªvez aqui quando você postou, consegui reslover por um método longo e cansativo, cheguei atá achar que estava errado e por isso apaguei a questão( estava certo), mas depois que comecei a ver as aulas e fazer as listas do POTI (essa estava na 1ªlista de teoria dos números nivel 3) consegui fazer por um método mais curto, que segue em parte a ideia do amigo Gilberto. A sacada que você tem que ter é que:

$\frac{n^2+2009}{n+2009}=\frac{n^2-2009^2}{n+2009}+\frac{2009^2+2009}{n+2009}\\\\\text{analogamente:}\\\\\frac{n^2+2010}{n+2010}=\frac{n^2-2010^2}{n+2010}+\frac{2010^2+2010}{n+2010}\\\\\text{Note ainda que os termos}\; \frac{n^2-2009^2}{n+2009}\;\; e\;\; \frac{n^2-2010^2}{n+2010}\;\; \text{ja s\~ao inteiros, Portanto,}\\\text{ as condic\~oes para que as duas sejam inteiras s\~ao:}\\n+2010\mid2010^2+2010=2010*2011\\n+2009\mid2009^2+2009=2010*2009$

$\\n+2010\mid2010^2+2010=2010*2011\\n+2009\mid2009^2+2009=2010*2009\\mdc(n+2010,n+2009)=?...\;\;\text{Pela propriedade}\;\;mdc(a,b)=mdc(b,a-b)\\mdc(n+2010,n+2009)=mdc(n+2009,1)=1\\Mas,\\(n+2010)=2011*2010/x\\(n+2009)=2009*2010/y\\\text{Assim, para que o mdc seja 1 e n seja positivo, teremos x=y=2010}\\\therefore n=1\;\;\text{(resposta)}$

por John von Neumann jr Sex 05 Fev 2016, 20:52

Não me recordava que já havia postado,desculpe.(é que retornei ao material.)
Em relação a questão tinha chegado a n=1,no entanto com uma solução não muito interessante,já essa sua...
Obrigado Pedro e Gilberto.