Questão malandrinha

por **Medeiros** Qua 01 Jul 2020, 11:04

Se
x + 1/x = -1
quanto é
x²⁰²⁰ + 1/x²⁰²⁰ ?

*sem gabarito

por **JoaoGabriel** Qua 01 Jul 2020, 11:30

x + 1/x = -1

--> x1 = z1 = -(-1)^(1/3) = 1 < -120°

--> x2 = z2 = (-1)^(2/3) = 1 < 120°

x1^2020 = 1^2020 < -120°*2020 = 1 < -120°

E por aí vai...

por Lucius Draco Qua 01 Jul 2020, 11:38

Chamando a=x e b=1/x temos o polinômio:

[latex]y^2-(a+b)y+ab=0[/latex]

[latex]y^2+y+1=0; raizes\; a\; e\; b[/latex]

Pelo polinômio temos que:

[latex]\left\{\begin{matrix} a^3=1\\ b^3=1 \end{matrix}\right.[/latex]

Logo,

[latex]S=a^{2020}+b^{2020}=(a^{3})^{673}\cdot a+(b^{3})^{673}\cdot b=a+b=-1[/latex]

por **Medeiros** Qua 01 Jul 2020, 11:51

agradeço àqueles que responderam.

Lucius, infelizmente o latex não funciona para mim (raramente funciona) e nunca consigo ver suas respostas pois aparecem assim:

por Lucius Draco Qua 01 Jul 2020, 12:01

Pronto! Que pena que não funciona o latex. Eu sempre faço por ele, pois acho que as equações ficam mais apresentáveis.

Chamando a=x e b=1/x temos o polinômio:

y^2 + -(a+b)*y + a*b = 0

y^2 + y + 1 = 0, com raízes a e b.

Pelo polinômio temos que:

a^3 = 1
b^3 = 1

Logo,

S = a^2020 + b^2020 = {[(a)^3]^673}*a + {[(b)^3]^673}*b ={1^673}*a + {1^673}*b = a + b

S = a + b = -1

por **Elcioschin** Qua 01 Jul 2020, 12:57

Lei de formação, apenas por curiosidade:

(x + 1/x) = -1

(x + 1/x)² = (-1)² ---> x² + 2 + 1/x² = 1 ---> x² + 1/x² = -1

(x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3.(x + 1/x) ---> (-1)³ = x³ + 1/x³ - 3 ---> x³ + 1/x³ = 2

(x + 1/x)⁴ = x⁴ + 4.x³.(1/x) + 6.x².(1/x²) + 4.x/(1/x³) + 1/x⁴ --->

(-1)⁴ = x⁴+ 1/x⁴ + 4.(x² + 1/x²) + 6 ---> x⁴+ 1/x⁴ = - 1

por **Medeiros** Qua 01 Jul 2020, 14:11

Obrigado, Lucius.
Eu também prefiro usar o latex para alguns casos porque melhora a organização mas de uns tempos para cá o do fórum ficou incompatível com meu sistema.
A solução que eu tinha visto é semelhante a sua.

x + 1/x = -1 -----> x² + x + 1 = 0
evidente que x não é 1, então podemos multiplicar por (x - 1) que não estaremos multiplicando por zero, e ficamos com:
(x - 1).(x² + x + 1) = 0 -----> x³ - 1 = 0 -----> x³ = 1

agora,
x²⁰²⁰ = x²⁰¹⁹.x¹ = (x³)⁶⁷³.x = 1.x = x

portanto
x²⁰²⁰ + 1/x²⁰²⁰ = x + 1/x = -1