piramide, angulo

por FelipeFBA Qui 18 Jun 2020, 14:35

(ESPM SP)
As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular são triângulos eqüiláteros. O ângulo formado pelas retas suportes de uma aresta lateral e de uma das diagonais da base pode medir:
a) 60º ou 90º
b) 45º ou 60º
c) 30º ou 60º
d) 30º ou 45º
e) 45º ou 90º

Spoiler:

por **Medeiros** Qui 18 Jun 2020, 15:24

É 45° tão somente. Não existe esse "ou" e 90° é impossível.

por Shah mat Qui 18 Jun 2020, 15:42

Bom, não tenho certeza mas esse outro ângulo pode ser aquele formado entre as retas reversas de uma das arestas laterais e a diagonal.
Sendo d a diagonal --> teremos d' paralela à reta d e concorrente com a aresta lateral formando um ângulo de 90 graus.

Se eu estiver enganado me corrijam por gentileza.

por Lucius Draco Qui 18 Jun 2020, 16:17

Para tornar a solução mais compreensível, envolverei a pirâmide em um hexaedro.

1ª solução
OBS.: A primeira solução foi provavelmente a que você fez.

Analisando o ∆DEB, temos:

Fazendo lei dos Cossenos temos que α=45º.

2ª solução

Devemos analisar o ângulo entre DE e AC. (Para isso vamos projetar o AC para cima)
Veja que o segmento AC é paralelo ao FH, logo o ângulo entre DE e AC é igual ao ângulo entre DE e FH.

Portanto analisando o ∆DEH, temos:

OBS.: veja que DC=L, CH=altura=(L√2)/2 e DH²=DC²+CH²

Fazendo a lei dos Cossenos temos que β=90º

Portanto, os ângulos possíveis são 45º e 90º.(Letra E)

por **Medeiros** Qui 18 Jun 2020, 16:37

Se vamos considerar retas reversas (e parece que o examinador fez isso nas alternativas), então o ângulo projetado será de 90°.

Porém este não é um ângulo real tal como definido na "região delimitada por duas semiretas que partem do mesmo ponto ou por dois planos que partem da mesma reta" visto que não há um ponto comum de partida.

Lamentável essa vacilada do ESPM SP, seja lá o que isso for. Se queriam sofisticar deveriam ter assinalado no enunciado.