(ITA - SP) Pirâmide

por murilonves Seg 05 Dez 2011, 13:40

(ITA - SP) Uma pirâmide tem por base um triângulo equilátero de lado a, e a razão entre sua aresta lateral e sua altura é k. Qual é seu volume?

por christian Seg 05 Dez 2011, 14:13

poste as alternativas se puder , achei $(ITA - SP) Pirâmide %5CLARGE%5C%21%5Cfrac%7Ba%5E%7B3%7D%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B12%5Csqrt%7B3%28k%5E%7B2%7D-1%29%7D%7D$

obs : fiquei em duvida se a razao eh a razao da altura da piramide ou a altura da aresta... , fiz pela altura da piramide

por Convidado Seg 05 Dez 2011, 14:15

Eu tbm achei isso, vo postar minha resolução. se vcs não se importam claro.

por christian Seg 05 Dez 2011, 14:19

vc vai fazer 2 pitagoras
o primeiro para achar a geratriz
o segundo para achar a aresta lateral
como x =kl...

onde x eh a aresta lateral

por Convidado Seg 05 Dez 2011, 14:44

Volume da pirâmide é: $V=\text{area da base}*\text{altura}*\frac{1}{3}$

Como o triângulo é equilátero, a área da base é : $S_{b}=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{2} \cdot{a}\cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}$

Agora teremos de deixar a altura em função de a ou k ou ambas:
Se você desenhar a pirâmide você vai enxergar um triângulo retângulo que relaciona a altura, a aresta lateral (l) e 2/3 do baricentro do triângulo equilatero (aquela relação: "achou o baricentro fica feliz , x, 2x")

Portanto podemos escrever:
$l^2=(\frac{a\cdot\sqrt3}{2}\cdot\frac{2}{3})^2+h^2 \\\text{da relacao dada no enunciado:}\\(k\cdot h)^2=\frac{a^2}{3}+h^2 \to \\h^2\cdot(k^2-1)=\frac{a^2}{3}\to h^2=\frac{a^2}{3\cdot(k^2-1)}\\\to h=\frac{a}{\sqrt3\cdot\sqrt{k^2-1}}$

Substituindo na fórmula do volume:
$V=\frac{a^2\cdot\sqrt3}{4}\cdot\frac{a}{\sqrt3\cdot\sqrt{k^2-1}}\cdot\frac{1}{3}\\V=\frac{a^3}{12\cdot\sqrt{k^2-1}}$

Desculpa se tiver errado ou se pulei em cima de outras respostas. Abraço , Perdoe-me também pela demora, fazia tempo que não escrevia em latex.

por christian Seg 05 Dez 2011, 15:04

ta corretissima gabriel , o que difere da minha e da sua resposta eh que vc corto a raiz , eu deixe-a dentro mas tb ta certo

por Convidado Seg 05 Dez 2011, 16:00

Ah valeu tbm, quis fazer a resolução, porque fica melhor na hora que vc vai querer entende-la detalhe por detalhe, mas desculpa se atropelei a sua resposta.Abraço.