Pirâmide

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Pirâmide

Mensagem por Ashitaka em Seg Set 26 2016, 21:49

Determine o volume de uma pirâmide triangular regular em função de sua altura h e do ângulo diédrico θ entre as faces laterais.

Spoiler:
Encontrei [3h³(1-2cosθ)√3]/(2+2cosθ), porém não estou seguro da resposta.
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Re: Pirâmide

Mensagem por Medeiros em Ter Set 27 2016, 03:42

Ashitaka

entendo pirâmide triangular regular como um tetraedro. E entendo que, no tetraedro, θ (ângulo diédrico entre faces) é invariável. Todos os tetraedros são semelhantes e o que varia é apenas a altura, a depender da aresta (ou tamanho) do sólido. Então o volume deve ficar somente em função da altura.

Na observação, abaixo da linha horizontal, considerei a fórmula em que chegaste. Não faço ideia de como você conseguiu por o ângulo na fórmula mas, admiravelmente tudo "se encaixa" exceto por aquele escalar "3" logo do início (indiquei com seta vermelha), então não devemos ter caminhado muito distantes.

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Re: Pirâmide

Mensagem por Ashitaka em Ter Set 27 2016, 09:11

Medeiros,

a definição de pirâmide regular é que esta é aquela cuja base é um polígono regular e cuja projeção do vértice sobre a base coincide com o centro desta. O tetraedro é um caso particular no qual, além da base, as faces laterais também são equiláteros.

O que eu fiz foi o seguinte:
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Do triângulo de lados vermelhos, isósceles, a = 2bsen(θ/2) (I).
Como a distância de um vértice da base ao pé da altura é a/√3, achamos a aresta lateral como √[h² + (a/√3)²] = √[3h² + a²)/3] (II).

Isolando a face frontal da pirâmide, temos um triângulo isósceles de lados iguais iguais a (II). Neste triângulo, encontramos a altura relativa à base a (ou seja, apótema): √[(II)² - (a/2)²] = √[(12h² + a²)/12] = (III).
Como a área dele é constante, eu fiz a*(III) = b*(II), já que b é altura relativa ao lado que não é a base. Daí, nessa equação, substituindo (I) no meio do caminho, cheguei naquela relação que postei. Infelizmente, procurei erros e não consegui achar de forma que aquele 3 saísse da equação, já que deve sair, pois, se vale para qualquer pirâmide, tem que valer para o tetraedro...
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Re: Pirâmide

Mensagem por Medeiros em Ter Set 27 2016, 10:44

Ah tá!!! Sempre me atrapalho com as definições, Ashitaka.
Então é uma pirâmide triangular reta, com base triângulo equilátero e altura variável -- agora entendi. E o erro em não entender antes foi todo meu.
Durante o dia é corrido, depois vejo as contas para este caso.
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Re: Pirâmide

Mensagem por Ashitaka em Ter Set 27 2016, 10:50

Tranquilo, fico no aguardo. Obrigado, e bom dia!
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Re: Pirâmide

Mensagem por Medeiros em Qui Set 29 2016, 03:53

Ashitaka

Tenho pensado (pensado, não rabiscado) e ainda não estou pronto para uma opinião final. De imediato posso adiantar que ainda não vi lógica na requisição.
Mas uma coisa me intriga: essa é uma questão que você gerou ou a obteve de algum lugar?
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Re: Pirâmide

Mensagem por Ashitaka em Qui Set 29 2016, 11:47

Bom dia, Medeiros!

Trago boas novas. Eu refiz o problema com calma e sem pular passagens. De fato, aquele 3 sumiu! Então, agora o resultado geral bate para o tetraedro e me leva a crer que está tudo certo. O caminho que segui foi exatamente o mesmo que descrevi na outra mensagem e obtive [h³(1-2cosθ)√3]/(2+2cosθ). Era algum erro de conta que lendo e relendo não consegui detectar no rascunho original (o qual já joguei no lixo).

Agora vamos a sua mensagem: em que você não viu lógica na requisição? Pra mim sempre pareceu ter sentido. Imagine uma reta que contém a altura de um tetraedro. Agora imagine que esse vértice pode se deslocar em cima dessa reta. O ângulo face/face variará, e o problema pede-se que determine o volume da pirâmide em função desse ângulo e de h.
Essa questão está em uma lista minha de pirâmides. Não está escrito ao lado dela qual é sua origem, mas como ela está no meio de outras questões do IFT MOSCOU (instituto físico técnico de Moscou), acredito que seja de lá também.
Eu não tenho o gabarito das outras duas também, e não queria encher o fórum com essas questões (até porque quando dificulta, sobram poucos que aparecem pra responder, como você), mas vou deixar aqui para caso você decida tentar e aí já comparamos as respostas (se estiver interessado, diga, daí posto a minha):
1) Uma pirâmide triangular é seccionada por um plano que passa por um de seus vértices da base e pelos pontos médios das arestas laterais. Achar a relação entre a superfície lateral e a área da base, sabendo-se que o plano secante é perpendicular a face lateral.
2) Achar o ângulo diédrico entre as faces laterais de uma pirâmide regular triangular, se o ângulo formado por uma das faces laterais e a base é igual a α.
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