Propriedades trigonométricas

por Luciano Augusto Qua 13 maio 2020, 16:27

Calcular os lados de um triangulo retangulo sabendo que a altura relativa a hipotenusa mede 4 e forma angulo de 15° com o cateto b.

Gabarito: a = 16, b = 16/(√(6) + √(2)), c = 16/(√(6) - √(2))

Estou conseguindo achar a hipotenusa e os dois catetos, por exemplo:
b = 8√(2-√(3)), pelos meus calculos acredito que seja o mesmo valor mas não consigo chegar no formato do gabarito.
Se alguem puder me mostrar como foi feita esta transformacão agradeço.

por **CaiqueF** Qua 13 maio 2020, 17:14

8\sqrt{2-\sqrt{3}} = 8\left(\frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt2} \right )\left(\frac{\sqrt3+ 1}{\sqrt3+ 1} \right ) = \frac{8\cdot2}{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}

por Luciano Augusto Qua 13 maio 2020, 18:29

CaiqueF escreveu:8\sqrt{2-\sqrt{3}} = 8\left(\frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt2} \right )\left(\frac{\sqrt3+ 1}{\sqrt3+ 1} \right ) = \frac{8\cdot2}{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}

Voce pode mostrar oque voce fez para ir de
8\sqrt{2-\sqrt{3}} Para 8\left(\frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt2} \right )\left(\frac{\sqrt3+ 1}{\sqrt3+ 1} \right ) ?

por **CaiqueF** Qua 13 maio 2020, 18:52

Existe uma técnica chamada radical duplo, que voce pode achar mais informações no google. Mas basicamente:

\sqrt{a\pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+c}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-c}{2}}
em que c= \sqrt{a^2-b}

Logo, \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}

Ai depois eu só multipliquei por\sqrt{3}+1 em cima e em baixo

por Luciano Augusto Qua 13 maio 2020, 19:01

Obrigado vou dar uma olhada.

por **Medeiros** Qua 13 maio 2020, 19:06

Luciano Augusto

ficaria mais fácil se você soubesse o valor de seno e cosseno de 15°. Decore que é útil -- para decorar, calcule para 45° - 30°.

sen15° = (√6 - √2)/4
cos15° = (√6 + √2)/4