Equação Exponencial (Questão 88 - FME 2)

por Daniel Escovedo EsPCEx Ter 12 maio 2020, 23:05

Resolva a equação exponencial:
4^{x} - 3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x+\frac{1}{2}} - 2^{2x-1}

Gabarito: \frac{3}{2}

por **Elcioschin** Qua 13 maio 2020, 01:03

(2²)^x +. 2^{2.x - 1} = 3^{x + 1/2} + 3^{x - 1/2}

2^2.x + 2^2.x.2^-1 = 3^x.3^1/2+ 3^x.3^-1/2

1.2^2.x + (1/2).2^2.x = 3^x.(3^1/2+ 3^-1/2)

(1 + 1/2).2^2.x = 3^x.(3^1/2+ 1/3^1/2)

(3/2).2^2.x = 3^x.(4/3^1/2) ---> :4

(3/8).2^2.x = 3^x.(1/3^1/2) ---> :3

(1/2³).2^2.x = 3^x.(1/3.3^1/2) --->

2^{2.x - 3} = 3^x.(1/3^3/2) --->

2^{2.x - 3} = 3^{x - 3/2} ---> Somente é possível se ambos os expoentes forem nulos:

I) 2.x - 3 = 0 ---> x = 3/2

II) x - 3/2 = 0 ---> x = 3/2

por **CaiqueF** Qua 13 maio 2020, 01:16

Elcioschin escreveu:2^{2.x - 3} = 3^{x - 3/2} ---> Somente é possível se ambos os expoentes forem nulos

Mestre, acredito que essa afirmação só seria verdadeira se os expoentes tivessem que ser inteiros.
Por exemplo, se fizermos 2x-3=1 e x-3/2=log(3)2 e acharmos solução, também é valido.
Uma continuação seria:
2^{2x - 3} = 3^{x - \frac{3}{2}} \Rightarrow 4^{x - \frac{3}{2}} = 3^{x - \frac{3}{2}} \Rightarrow \left (\frac{4}{3}\right )^{x - \frac{3}{2}}=1

Assim, x-3/2=0

por Anderson M. Qua 13 maio 2020, 01:21

4^{x}-3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x+\frac{1}{2}} -2^{2x-1} \Rightarrow
2^{2x} - \frac{3^{x}}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{x} \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{2x}}{2} \Rightarrow 2^{2x} + \frac{2^{2x}}{2} = 3^{x} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{3^{x}}{3^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow 2^{2x}\left(1 +\frac{1}{2}\right) === 3^{x} \left(3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}\right) \Rightarrow 2^{2x} \cdot \frac{3}{2} = 3^{x} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow \frac{2^{2x}}{3^{x}} = \frac{8}{3^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \frac{2^{2x}}{3^{x}} = \frac{2^{3}}{3^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow x =\frac{3}{2}

por **Elcioschin** Qua 13 maio 2020, 14:32

Caique

2^{2.x - 3} = 3^{x - 3/2}

O valor de x tem que ser o mesmo, nos dois membros da equação

Supondo 2.x - 3 = 1 no 1º membro ---> x = 2 ---> 2^{2.x - 3} = 1

Fazendo x = 2 no 2º membro ---> 3^{x - 3/2}= 3^{2 - 3/2}= 3^1/2= √3

Neste caso, chegaríamos ao absurdo 1 = √3

A conclusão é que, sempre que tivermos uma igualdade de potências, com bases diferentes, os dois expoentes devem ser nulos:

a^x = b^y ---> se a ≠ b ≠ 0 ---> x = y = 0

por **CaiqueF** Qua 13 maio 2020, 19:18

Mestre, acho que está se confundindo, isso só vale se houver a restrição para os expoentes serem inteiros.
por exemplo:

2^{x+1} = 3^{\log_3 72 - x}

Nesse caso, x=2 é solução, e os expoentes não se anulam