Equação Exponencial - Questão

por mantorrosa Qua 09 Abr 2014, 12:24

Olá!

Esta questão foi retirada da 3ª edição do Fundamentos de Matemática Elementar. Será que poderia alguém ajudar?

Resolver em R₊ x^(2x)-[x^(2)+x ]x^(x)+x^(3)=0.
O gabarito dá o conjunto S={1, 2} como soluções.

Latex:
Resolver em $\mathbb{R}_+$ :

$x^{2x}-\left ( x^{2}+x \right )x^{x}+x^{3}=0$ .

por **Elcioschin** Qua 09 Abr 2014, 12:40

Fazendo x^x = y ---> x^(2x) = (x^x)² = y²

y² - (x² + x).y + x³ = 0 ----> Equação do 2º grau na variável y

∆ = b² - 4ac ---> ∆ = (x² + x)² - 4.1.x³ ---> ∆ = x^4 + 2.x³ + x² - 4.x³ ---> ∆ = x^4 - 2.x³ + x² --->

∆ = x².(x² - 2x + 1) ---> ∆ = x².(x - 1)² ---> sqrt(∆) = x.(x - 1) = x² - x

Raízes ----> y = [(x² + x) + (x² - x)]/2 ---> x^x = x² ---> x = 2

y = [(x² + x) - (x² - x)]/2 ---> x^x = x ---> x = 1