Inequação Módular

Alguém poderia me provar a seguinte proposição:


Se a>=0 e b>=0, então |a+b|>=|a-b|



Me parece verdadeiro mas não estou conseguindo demonstrar.

Desde já, grato.

Bom, não é uma demonstração rigorosa, mas espero conseguir convencer que se a ≥ 0 e b ≥ 0, então |a + b| ≥ |a – b|.

Se a ≥ 0 e b ≥ 0, então a + b ≥ 0. Se a + b ≥ 0, então a + b = |a + b|. Guardemos esta informação.

Como a e b não têm valores determinados, podem ocorrer três casos: a > b, a < b ou a = b, que eu vou reduzir a dois escrevendo a ≥ b ou a < b.
1° caso: a ≥ b

Se a ≥ b, então a – b ≥ 0, o que significa que a – b = |a – b|. Guardemos mais esta informação.

2° caso: a < b

Se a < b, então a – b < 0, o que significa que |a – b| = –(a – b) = – a + b = b – a. Guardemos esta outra informação.

Voltando à inequação inicial, |a + b| ≥ |a – b|, tendo em vista as informações que nós já descobrimos, podemos concluir que ela implica duas inequações:
|a + b| ≥ |a – b| implica a + b ≥ a – b, (se a ≥ b) ou
|a + b| ≥ |a – b| implica a + b ≥ b – a, (se a < b).

Resolvendo a primeira inequação, temos:
|a + b| ≥ |a – b| —> a + b ≥ a – b —> b ≥ – b –> 2b ≥ 0 —> b ≥ 0.

Resolvendo a segunda:
|a + b| ≥ |a – b| —> a + b ≥ b – a —> a ≥ –a —> 2a ≥ 0 —> a ≥ 0.

Daqui conclui-se que se |a + b| ≥ |a – b|, então a ≥ 0 e b ≥ 0. Para demonstrar o contrário, basta fazer o caminho inverso:

Sendo a ≥ 0, b ≥ 0 e a ≥ b, temos:
b ≥ 0 –> 2b ≥ 0 –> b + b ≥ 0 –> b ≥ –b —> b + a ≥ –b + a —> a + b ≥ a – b —> |a + b| ≥ |a – b|

Sendo a ≥ 0, b ≥ 0 e a < b, temos:
a ≥ 0 —> 2a ≥ 0 —> a + a ≥ 0 —> a ≥ –a —> a + b ≥ b – a —> |a + b| ≥ |a – b|.

Espero que tenha sido útil.

Uma demostração simples, considerando que a e b não são negativos

|a + b| ≥ |a - b|

1) Para a > b

+ (a + b) ≥ + (a - b) ---> a + b ≥ a - b ---> 2.b ≥ 0 ---> b ≥ 0 ---> OK

2) Para a < b

+ (a + b) ≥ - (a - b) ---> a + b ≥ - a + b ---> 2.a ≥ 0 ---> a ≥ 0 ---> OK

3) Para a = b ---> + (b + b) ≥ + (b - b) ---> 2.b ≥ 0 ---> b ≥ 0 ---> OK