Tangente da soma de dois ângulos

por jellyware Seg 23 Mar 2020, 20:57

Para todo x em que estiver definida, a expressão tg(3∏/2 + x) corresponde a (escolha uma):

a. -tg(∏x)
b. -tg(x)
c. tg(x)
d. -cotg(x)
e. cotg(x)

Question

por Tiago Avelino Seg 23 Mar 2020, 21:22

Olá caro amigo, problemas com indefinições algébricas podem ser realizados via geometria

Tome o círculo trigonométrico.

Marquemos então o arco X.
Se andarmos 270 graus a partir de x, isso seria o mesmo que andarmos 90 - x para o sentido horário, correto?
Então ficou fácil pois tgx = -tg(-x), confere?

Voltando a primeira afirmação, temos que tg(pi/2 - x)=cotgx ( VOCÊ PODE VERIFICAR ISSO NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO!! )

Como estamos andando no sentido contrário, temos que tg(3pi/2-x)=tg(-(pi/2-x)=-tg(pi/2 - x)=-cotgx

Gabarito letra D?
Você tem o gabarito?

por **Giovana Martins** Seg 23 Mar 2020, 21:25

Um "outro" jeito.

\\\alpha =\frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha +x)=\frac{tg(\alpha )+tg(x)}{1-tg(\alpha )tg(x)}\\\\tg(a+x)=\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg (\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}\\\\tg(\alpha +x)=\frac{1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} }{\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) },\mathrm{se}\ tg(\alpha )\neq 0

Algumas observações: quando α tende a 270°, a tg(α) tende ao menos infinito (pense no ciclo trigonométrico e a projeção da tangente). Assim, 1/tg(α) tende a zero assim como tg(x)/tg(α) restando apenas a razão -1/tg(x)=-cot(x).

Se você souber um pouquinho de limites também é possível fazer usando a mesma ideia.

\\\alpha =\frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha +x)=\frac{tg (\alpha )+tg(x)}{1-tg(\alpha )tg(x)}\\\\tg(a+x)=\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}\\\\\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}=\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}\frac{1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )}}{\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) },tg(\alpha )\neq 0\\\\\mathrm{Se}\ \alpha \to \frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha )\to -\infty, \mathrm{logo}:\ \frac{1}{tg(\alpha )}\to 0\ \mathrm{e}\ \frac{tg(x)}{tg(\alpha )}\to 0\\\\\therefore \ \boxed {\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}tg(\alpha +x)=-cot(x)}

por Tiago Avelino Seg 23 Mar 2020, 21:27

Giovana Martins escreveu:
Um "outro" jeito.

\\\alpha =\frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha +x)=\frac{tg(\alpha )+tg(x)}{1-tg(\alpha )tg(x)}\\\\tg(a+x)=\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}\\\\tg(\alpha +x)=\frac{1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} }{\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) },\mathrm{se}\ tg(\alpha )\neq 0

Algumas observações: quando α tende a 270°, a tg(α) tende ao menos infinito (pense no ciclo trigonométrico e a projeção da tangente). Assim, 1/tg(α) tende a zero assim como tg(x)/tg(α) restando apenas a razão -1/tg(x)=-cot(x).

Se você souber um pouquinho de limites também é possível fazer usando a mesma ideia.

\\\alpha =\frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha +x)=\frac{tg(\alpha )+tg(x)}{1-tg(\alpha )tg(x)}\\\\tg(a+x)=\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}\\\\\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}=\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}\frac{1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )}}{\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) },tg(\alpha )\neq 0\\\\\mathrm{Se}\ \alpha \to \frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha )\to +\infty, \mathrm{logo}:\ \frac{1}{tg(\alpha )}\to 0\ \mathrm{e}\ \frac{tg(x)}{tg(\alpha )}\to 0\\\\\therefore \ \boxed {\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}tg(\alpha +x)=-cot(x)}

Muito bacana!

por **Giovana Martins** Seg 23 Mar 2020, 21:36

Os limites assim como a geometria dão uma boa ajuda em casos de indeterminações ou indefinições Smile

.

por jellyware Seg 23 Mar 2020, 22:02

Tiago Avelino escreveu:Olá caro amigo, problemas com indefinições algébricas podem ser realizados via geometria

Tome o círculo trigonométrico.

Marquemos então o arco X.
Se andarmos 270 graus a partir de x, isso seria o mesmo que andarmos 90 - x para o sentido horário, correto?
Então ficou fácil pois tgx = -tg(-x), confere?

Voltando a primeira afirmação, temos que tg(pi/2 - x)=cotgx ( VOCÊ PODE VERIFICAR ISSO NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO!! )

Como estamos andando no sentido contrário, temos que tg(3pi/2-x)=tg(-(pi/2-x)=-tg(pi/2 - x)=-cotgx

Gabarito letra D?
Você tem o gabarito?

É a letra D. Muito obrigada, ajudou bastante!! Very Happy

por jellyware Seg 23 Mar 2020, 22:04

Giovana Martins escreveu:
Um "outro" jeito.

\\\alpha =\frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha +x)=\frac{tg(\alpha )+tg(x)}{1-tg(\alpha )tg(x)}\\\\tg(a+x)=\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}\\\\tg(\alpha +x)=\frac{1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} }{\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) },\mathrm{se}\ tg(\alpha )\neq 0

Algumas observações: quando α tende a 270°, a tg(α) tende ao menos infinito (pense no ciclo trigonométrico e a projeção da tangente). Assim, 1/tg(α) tende a zero assim como tg(x)/tg(α) restando apenas a razão -1/tg(x)=-cot(x).

Se você souber um pouquinho de limites também é possível fazer usando a mesma ideia.

\\\alpha =\frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha +x)=\frac{tg(\alpha )+tg(x)}{1-tg(\alpha )tg(x)}\\\\tg(a+x)=\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}\\\\\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}\frac{tg(\alpha )\left [1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )} \right ]}{tg(\alpha )\left [\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) \right ]}=\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}\frac{1+\frac{tg(x)}{tg(\alpha )}}{\frac{1}{tg(\alpha )}-tg(x) },tg(\alpha )\neq 0\\\\\mathrm{Se}\ \alpha \to \frac{3\pi }{2}\ \therefore \ tg(\alpha )\to -\infty, \mathrm{logo}:\ \frac{1}{tg(\alpha )}\to 0\ \mathrm{e}\ \frac{tg(x)}{tg(\alpha )}\to 0\\\\\therefore \ \boxed {\lim_{\alpha \to \frac{3\pi }{2}}tg(\alpha +x)=-cot(x)}

Muito obrigada!! Very Happy

por **Elcioschin** Seg 23 Mar 2020, 22:45

Uma 3ª solução

tg(3.pi/2 + x) = sen(3.pi/2 + x)/cos(3.pi/2 + x)

a) sen(3.pi/2 + x) = sen(3.pi/2).cosx + cos(3.pi/2).senx = -1*cosx + 0.senx = - cosx

b) cos(3.pi/2 + x) = cos(3.pi/2).cosx - sen(3.pi/2).senx = 0*cosx - (-1).senx = cosx

tg(3.pi/2 + x) = - cosx/senx = - cotgx