Soma máxima de dois ângulos

por marcelo-jr Ter 16 Jan 2018, 21:45

Existe uma forma de expressar a soma máxima do seno e cosseno de dois ângulos sem o auxílio de figuras geométricas?

por **Elcioschin** Ter 16 Jan 2018, 22:10

sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa

cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb

Você quer saber como demonstrar as fórmulas acima sem as figuras?
Eu só conheço a demostração com as figuras.

por marcelojr Qua 17 Jan 2018, 00:32

Elcioschin escreveu:sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa

cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb

Você quer saber como demonstrar as fórmulas acima sem as figuras?
Eu só conheço a demostração com as figuras.

Na verdade era saber o valor máximo de senx + cosx. Sem deduzir.

por **Baltuilhe** Qua 17 Jan 2018, 00:49

Boa noite!

Pensei assim:
\\f(x)=\sin x+\cos x\\\left[f(x)\right]^2=(\sin x+\cos x)\\\left[f(x)]\right]^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x\\\left[f(x)]\right]^2=\overbrace{\sin^2 x+\cos^2 x}^{1}+\overbrace{2\sin x\cos x}^{\sin 2x}\\\left[f(x)\right]^2=1+\sin 2x\\f(x)=\sqrt{1+\sin 2x}

Bom, o ponto de máximo para o seno é fácil, né? Onde ele vale 1. Portanto:
\\sin 2x=1\\2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, onde k\in\mathbb{Z}

Isso irá garantir o maior valor da função, que é \sqrt{1+1}=\sqrt{2}

Espero ter ajudado!