Termometria

Oii, boa noite, alguém pode me ajudar? 
Uma escala não centígrada é representada pela seguinte equação em função da escala Celsius 
  T = a(Tc)^2 +b(Tc) +c 
Sendo a,b e c constantes reais 
Sabe-se que os pontos de fusão do gelo e de ebulição da água a 1atm são respectivamente iguais a Tf=10 e Te=510. Essa escala é impressa em um termômetro de mercúrio. Sabendo-se que esse termômetro será utilizado para medir somente a temperatura de determinados líquidos, e que desses, o líquido que se solidifica com a temperatura mais baixa o faz a -20°C, determine as duas possíveis equações para a escala. 
Dados: Temperatura de ebulição do mercúrio: 350°C
Temperatura de solidificação do mercúrio: -40°C

Resposta: T=[(Tc)^2]/28 + [10(Tc)]/7 + 10

               T=[-(Tc)^2]/120 + [35(Tc)]/6 +10

..C - 0 ....... T - 10
--------- = ---------- ---> T = 5.C + 10
100 - 0 .....510 - 10

Para C = - 20 ---> T = 5.(-20) + 10 ---> T = - 90 

A reta passa pelos pontos:

(0, 10) ---> 10 = a.0² + b.0 + c ---> c = 10

(100, 510) ---> 510 = a.100² + b.100 + 10 ---> I

(-20, -90) ---> - 90 = a.(-20)² + b(-20) + 10 ---> II

Resolva I e II e calcule b, c


Similar para C = 350 ---> T = 5.(350) + 10 ---> T = 1760 ---> (350, 1760)

1760 = a.350² + b.350 + 10 ---> Resolva com I

Tenho dúvidas. 
Quando você faz a equação 
(C-0)/100-0 = (T-10)/500-10
estaria considerando que as temperaturas variam linearmente, o que não é verdade, pois descrevem uma equação quadrática. Prova disso é que fazendo suas contas ficamos com a=0 e a equação fica T=b(tc)+c, que realmente é uma reta. Assim, não batendo com a resposta

Concordo contigo

Neste caso, as equações válidas são:

(0, 10) ---> 10 = a.0² + b.0 + c ---> c = 10

(100, 510) ---> 510 = a.100² + b.100 + 10 ---> 100.a + b = 5 ---> II

Precisamos de mais duas equações para determinar os dois pares (a, b)

Certamente uma parábola terá concavidade para cima (a > 0) e a outra para  baixo (a < 0)


Vamos pensar no assunto e contar com ajuda de outros colegas do fórum.

certo 

Por curiosidade, de onde veio esta questão?

Não diz na minha apostila

Consegui a resposta faz um tempinho, mas havia esquecido , vou botar aqui para quem quiser ver.
T(0)=10\rightarrow c=10
T(100)=510\rightarrow b=5-100a
\Rightarrow T=a((T_{C})^{2}-100T_{C})+5T_{C}+10
Para o mercúrio não ebulir T_{C}=350^{\circ}°C é T_{MAX}
\frac{dT}{dT_{C}} =0 \Rightarrow a(2T_{C}-100) + 5 \Rightarrow a=\frac{5}{100-2T_{C}}\Rightarrow a= -\frac{1}{120}
Para T_{C}=-20
a=\frac{5}{100+40}\Rightarrow a=\frac{1}{28}
Assim, acha as duas equações!