Algarismos

por Xm280 Qua 18 Mar 2020, 09:07

(Rio Grande do Sul - 2002) Determine todos os números naturais que possuem três algarismos não nulos e distintos e que são iguais a soma de todos os números de dois dígitos que podem ser formados a partir de seus algarismos resulta no própio número.

Gabarito:

por **Elcioschin** Qua 18 Mar 2020, 09:28

N = XYZ

XYZ = XY + XZ + YX + YZ + ZX + ZY

100.X + 10.Y + Z = 10.X + Y + 10.X + Z + 10.Y + X + 10.Y + Z + 10.Z + X + 10.Z + Y

100.X + 10.Y + Z = 22.X + 22.Y + 22.Z ---> 78.X = 12.Y + 21.Z ---> :3 ---> 26.X = 4.Y + 7.Z

Para X = 1 não existe solução

Para X = 2 ---> 26.2 = 4.Y + 7.Z ---> 4.Y + 7.Z = 52 ---> Y = 6 e Z = 4 ---> N = 264

Para X = 3 ---> 26.3 = 4.Y + 7.Z ---> 4.Y + 7.Z = 78 ---> Y = 9 e Z = 6 ---> N = 396

Deixo para você provar que não existem soluções para X > 3

por Xm280 Qui 19 Mar 2020, 16:40

Elcio, pq para o 1 não há solução? Eu testei para x=1 e incrivelmente achei uma solução:

Para x = 1; temos 26 = 4y + 7z ----> Se y = 3 e z = 2 então 4(3)+7(2) = 12 + 14 = 26. Logo o número 132 deve satisfazer. Verificando se o 132 atende ao enunciado:

- Possui 3 algarismos; (verdadeir)
- São diferentes entre si; (verdadeiro)
- 132 = 13 +12 + 31 + 32 + 21 + 23 (verdadeiro).

Quanto para x > 3, verifica-se o seguinte:

4y + 7z, pode assumir como valor máximo 95, já que y ≠ z e y,z ∈ {1, 2, 3, 4, ..., 9}. Como 26*x, para x > 3, sempre assumirá valor maior que 95, torna-se impossível uma solução.

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