Nº de algarismos

(2²⁰¹⁷).(5²⁰¹⁷) = 10²⁰¹⁷

10⁰ = 1 ---> 1 + 0 = 1 algarismo
10¹ = 10 --> 1 + 1 = 2 algarismos
.......................................................
10²⁰¹⁷ ----> 1 + 2017 = 2018 algarismos

Bom dia professor, sobre as questões da prova de concurso foi realizada em 2012
em um interior do RN, um conhecido pediu pra eu resolver as questões. Ele como eu estamos se preparando pra concurso e essas questões são boas.

professor por que "10 elevado a zero"
                          " 10 elevado a um"


Agradeço e um abraço.

Foi para mostrar como varia a quantidade de algarismos do número, em função do expoente do 10

10⁰ = 1 ---> Expoente 0 implica número com 1 algarismo (1)
10¹ = 10 --> Expoente 1 implica  número com 2 algarismos (10)
10² = 100 --> Expoente 2 implica  número com 3 algarismos (100)

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10²⁰¹⁷ --> Expoente 2017 implica  número com 2018 algarismos 

^{Dados os números x =} 2²⁰¹⁷  e y = 5^2017:
log2(x) = 2017 => log(x)= 2017*log(2)

log5(y) = 2017 => log(y)= 2017*log(5)

Como log 5 = log (10/2) = 1 - log 2, fica:
log5(y) = 2017 => log(y)= 2017*(1 - log 2)

Sabemos também que a mantissa corresponde à parte decimal do número, portanto:
mantissa de log x = log 2
mantissa de log y = log 5 = 1 - log 2

Considerando que a quantidade de algarismos de um número é dada pela característica de seu logaritmo na base 10, somada de 1 e subtraída de sua mantissa, concluímos que 
m = log(x) - mantissa de log(x) + 1
n = log(y) - mantissa de log (y) + 1
m + n = log(x) + log(y) - mantissas + 2
m + n = 2017*log 2 + 2017*(1 - log 2) - log 2 - (1 - log 2) + 2 
= 2017 (log 2 + 1 - log 2) - log 2 - 1 + log 2 + 2
= 2017 + 1 
= 2018