questão sobre conjuntos (IFBA/2019)

por jinviti Dom 09 Fev 2020, 18:55

(IFBA/2019)Numa cidade, fizeram o levantamento da
quantidade de crianças com seis meses
de nascidas que tinham tomado a terceira
dose das vacinas contra hepatite B, meningite e paralisia infantil.
A tabela abaixo mostra alguns resultados:

Foi observado que a quantidade de crianças que tomaram as três vacinas era igual
à metade da quantidade das crianças que
tomaram apenas a vacina contra a paralisia infantil e também igual a 5% da quantidade total das crianças que tomaram pelo
menos uma vacina.
Determine a quantidade de crianças que
tomaram pelo menos um tipo de vacina.
a) 60000
b)48000
c) 12000
d)24000
e)36000

gabarito:
d) 24000

por mao_sun Dom 09 Fev 2020, 20:21

Para uma melhor compreensão, olhe o diagrama que eu fiz da questão, ajudará muito no entendimento.

DIAGRAMA DE VENN

A questão diz que a quantidade de crianças que tomaram todas as vacinas é igual a metade das que tomaram apenas a Paralisia Infantil (chamaremos essa vacina de x), portanto:

x = Quem\: tomou\: apenas\: a\: Paralisia\: Infantil

\frac{x}{2} = Quem \: tomou \: todas \: as \: vacinas

e a questão ainda diz que x dividido 2 (quem tomou todas as vacinas) é igual a 5% do total de crianças:

\frac{x}{2} = 0,05 \cdot total

Operando dos dois lados da equação, obtemos

(I): x = 2\cdot 0,05\cdot total

Utilizaremos agora os dados da tabela oferecidos pela questão: (Olhar diagrama para melhor compreensão)

total = \left [ n(HB) + n(M) + x + n(HB\cap M) + n(HB\cap x) + n(M\cap x) + \frac{x}{2} \right ]

total = \left [ 8.110 + 6.150 + x + 3.020 + \frac{x}{2} \right ]

(II): total = 20.400 + \frac{3x}{2}

Voltando a equação I:

x = 2\cdot 0,05\cdot total

x = 2\cdot 0,05\cdot (20.400 + \frac{3x}{2})

Fazendo os cálculos:

\frac{17x}{40} = 1.020

x = 2.400

Indo agora para a equação II:

total = 20.400 + \frac{3x}{2}

total = 20.400 + \frac{3\cdot2.400}{2}

total = 20.400 + 3.600

Finalmente: total = 24.000