Módulo + Trigonometria

Resolva o sistema:






Solução:

Spoiler:

Up, pois eu não estou consegujndo também

tá complicado...
Vamos tentar

Eu consegui analisando os possíveis valores de (x+y) que satisfazem a equação:
Sen(x+y)=senx+seny
A equação é satisfeita para:
x+y=0
ou
x=0
ou
y=0

Mas não consegui provar que é satisfeita somente para esses números, eu só olhei a equação e fiquei pensando para quais valores de x e y ela seria satisfeita e só consegui pensar nesse.
Ai fica um sistema saca?

|X|+|Y|=1
X+Y=0
Ai é só resolver... Suponha que x>0 e y>0 (impossível)
depois que X>0 e Y<0 vai achar que x=1/2 mas x+y=0... x=-y então y=-1/2.
se X<0 e Y<0 (imposível)
se x<0 e y>0 ... y=1/2 e x =-1/2

analisando agora se X=0
tem-se |Y|=1 ... Y=+-1
e se Y=0
|X|=1 ... X=+-1

Enfim... se alguém conseguir provar que aqueles são os únicos valores possíveis de X e Y para satisfazer a equação trigonométrica seria de grande ajuda...

Essa questão é da onde?

sen(1/2)+sen(1/2)=sen(1) ? Isso é falso, não?

As outras soluções você encontra as sim
para x e y ≥0
x+y=1 <-> x=1-y

substituindo
sen(1-y)+sen(y)=sen(1)
isso só é verdade se:
sen(1-y)=sen(1) e sen(y)=0 <-> y=0 e x=1
sen(1-y)=0 e sen(y)=sen(1) <-> y=1 e x=0

para x≥0 e y<0
x-y=1
x=1+y
substituindo
sen(1+y)+sen(y)=sen(1+2y)
isso só é verdade se:
y=0 e x=1 (solução já encontrada)
ou sen(1+y)=0 e sen(y)=sen(1+2y) <-> y=-1 e x=0
para x<0 e y≥0
y-x=1
resolvendo de modo análogo, encontramos y=0 e x=-1.

as outras soluções serão iguais

portanto
(1,0);(0,1);(-1,0);(0;-1)

Eu responderia isso, mas vou aguardar.
Espero que ajude.

Hygorvv acho que esse é o caminho certo.