Funções Quadráticas - FME 1 (Cap.7, Q.324)

Olá, quem pudesse ajudar eu agradeço!!!

Q. 324. Determine m para que se tenha para ∀ x ∈ ℝ :

d) -3 < (x² + mx - 2 ) / (x² - x + 1 ) < 2

Resposta: -1 < m < 2.

Não sei bem qual foi meu erro, mas não consegui desenvolver as inequações simultâneas para isolar o m e achar a resposta.

Nós também não sabemos qual foi seu erro, pois você não mostrou o passo-a-passo da sua solução.

São duas inequações diferentes. A primeira é:

- 3 < (x² + m.x - 2)/(x² - x + 1)

0 < (x² + m.x - 2)/(x² - x + 1) + 3

0 < [(x² + m.x - 2) + 3.(x² - x + 1)]/(x² - x + 1)

0 < [4.x² + (m - 3).x + 1] /(x² - x + 1) ---> Invertendo:

[4.x² + (m - 3).x + 1] /(x² - x + 1) > 0

A função do denominador é uma parábola com a concavidade voltada para cima e tem raízes complexas (∆ = -3 < 0). Isto significa que ela é sempre positiva, pois está acima do eixo x. Logo o seu sinal não interfere no resultado da inequação.

Devemos ter, portanto: 4.x² + (m - 3).x + 1 > 0

Do mesmo modo, para esta função ser sempre positiva devemos ter ∆ < 0:

∆ = (m - 3)² - 4.4.1 --> m² - 6.m - 7 < 0 --> Raízes m = -1 e m = 7 --> -1 < m < 7

Faça similar para a outra inequação e defina o intervalo de validade

Depois calcule a interseção dos dois intervalos.

Eu tinha feito com as duas inequações simultaneamente e me confundi..
Fazendo de forma separada funcionou! Obrigada!