Prove que são colineares

Seja s1 e t1 duas retas concorrentes na tangente B1 à circunferência central A e raio r1 (figura 5-10). Com centro no ponto P da semi-reta de origem B que contém A, a circunferência do raio r2 (menor que r1) é tangente às retas s1 e t1. Seja s2 e t2 duas retas tangentes à segunda circunferência concorrente em R. Centrado no ponto Q da linha de origem R contendo P, a circunferência do raio r3 (menor que r2), tangente às retas s2 e t2. Sejam s3 e t3 as retas tangentes comuns à primeira e terceira circunferências que têm em comum um ponto C da retas AQ, exterior ao segmento AQ. Prove que B, C e R são colineares


Acho que Pelo teorema do Monge e Menelaus deve matar. Mas não sei como

Seja w1, w2 e w3 as circunferências de correspondentes índices.

Para matar esse problema, tem que usar o Teorema de Menelaus e semelhança.  

Como qualquer aplicação do Teorema de Menelaus, você deve procurar um triângulo cujo lados ou prologamentos desses são cortados pela reta dos pontos que se deseja provar que são colineares.

Nesse contexto, podemos ver que o triângulo em questão é aquele que envolve os centros das 3 circunferências da questão. 

Usando a volta dos Teorema de Menelaus:

B, C e R são colineares se, e somente se, tal condição é satisfeita:

\frac{AB}{BP}.\frac{PR}{RQ}.\frac{QC}{CA}=1

Só que, pelo fato de t1 e s1 serem tangentes a w1 e w1, temos a seguinte semelhança:

\frac{AB}{BP}=\frac{r_{1}}{r_{2}}

Analogamente em w2 e w3:

\frac{PR}{RQ}=\frac{r_{2}}{r_{3}}

Analogamente em w1 e w3:

\frac{QC}{CA}=\frac{r_{3}}{r_{1}}

Juntando cada fração:

\frac{AB}{BP}.\frac{PR}{RQ}.\frac{QC}{CC}=\frac{r_{1}}{r_{2}}.\frac{r_{2}}{r_{3}}.\frac{r_{3}}{r_{1}}=1

Como queríamos demonstrar.