OBMEP - 2ª Fase - Nível III - Questões em Geral

Boa tarde.
Criei este tópico para o compartilhamento dos resultados que eu obtive no geral para as questões da OBMEP, além de dúvidas, já que não tenho visto muita discussão acerca da prova em geral. (E um pouco da minha experiência com cada questão também, por que não?)


*Não há como justificar a 1, há?

2a) 3. 
b) Ao tomar um número n e inserí-lo na expressão, 2n/n-2, e repetirmos o processo, dessa vez substituindo n pela expressão (e simplificando o máximo possível, é claro), acabaremos com o n inicial escolhido. Dei uma explicação mais detalhada que isso, mas foi basicamente este o raciocínio que empreguei.
c) 4 e 0. Seja 2n/n-2 = n, acabaremos em uma equação do segundo grau cujas raízes são 4 e 0.
d) Suponhamos, por absurdo, que dito número exista, e chamemos este de x. 2n/n-2 = x.
Multiplicando ambos os lados da expressão por (n-2), teremos que 2n = xn - 2x. É possível observar que se o coeficiente que acompanha o n for idêntico em ambos os lados da expressão, tal n "desaparece" e perceberemos algo. Isso ficará mais claro a seguir.
Ora, tal número só pode ser 2 (já é 2 de um lado, obviamente, portanto deve ser 2 do outro). Uma vez que x seja 2. Teremos que:
2n = 2n - 4
0 = -4
Como chegamos a um absurdo, o número 2 é inatingível. 
"Ahhh, mas se x for igual a zero a expressão faz sentido!" 
De fato 2n = 0n - 2.0 faz sentido, mas não acabamos de provar que 0 é atingível no item anterior?

3a) Ugh. O tipo de questão que sempre me esmurra, mas vamos lá: A probabilidade de Ana receber a bola seria a probabilidade de ela receber a bola de Bianca, Carla e Diana, todas juntas, certo? Como as garotas para as quais bolas serão jogadas são escolhidas ao acaso, a probabilidade de Ana ser a escolhida dentre outras 3 (Quatro meninas, cada uma com três opções, claro) é 1/3.
Pelo princípio multiplicativo, devemos aplicar a multiplicação para essa probabilidade (que é idêntica para as três meninas).
Logo, 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/27, que é a probabilidade de Ana receber três bolas.

b) Aqui eu já comecei a me odiar.
Ora, se a chance de uma bola for pra Ana é 1/3, a chance de NÃO ir é 2/3, certo? Logo, como ela deve receber exatamente 2 bolas, concluiremos que a probabilidade de Ana receber exatamente 2 bolas é:
1/3 x 1/3 (para receber duas bolas) x 2/3 (para não receber uma das bolas) = 2/27, correto?
E foi aí o meu erro, eu esqueci que a bola que NÃO vai pra Ana pode partir de quaisquer das outras três garotas. Então o resultado correto é 6/27, 2/9 if you will.
Espero que ao menos parte dos pontos eu receba ;;

c) Pura baboseira, obviamente tá errado, mas compartilharei mesmo assim porque estou curioso se mais alguém na Terra teve o mesmo raciocínio.

Começamos com a primeira garota. Say, Ana.
Ela tem 3 opções para escolher seu alvo, até aqui, tudo bem. E depois, na segunda garota? Pode ser qualquer um, menos ela mesma. Logo ela teria 3 opções para escolher seu alvo, né? Ana, Carla, Diana, né? Não, porque isso só aconteceria caso Ana tivesse escolhido Bianca para jogar a bola. Caso contrário, Bianca teria apenas 2 opções.
A partir daí vocês podem ter entendido meu raciocínio, eu fui dividindo caso por caso, e cheguei a 15/27 (??????)

4a) A única que resolvi por completo. Pitágoras, somar, etc; 50.
b) Eu fiz parcialmente, sabia que eu tinha que traçar retas perpendiculares pra formar triângulos retângulos e tudo mais, mas me confundia no sistema e não prossegui depois disso, apesar de ter declarado essa parte inicial.
c) Nem toquei, não fazia ideia do que fazer aí.

5a) Completar
b) Não sei de onde um monte de gente tá tirando esse tal 512, eu cheguei em 1536. Se alguém souber explicar, por favor, eu ficaria grato.
c) Resultado anterior x 2^6. Só que por algum motivo eu creio que considerei 2^6 como 12 e fiz o cálculo. Sigh. Espero não cortarem pontos com isso, mas sei que vão.

6a) Completar
6b) Travei 20min nessa, mas fiz.
6c) tentei algo com Contagem, mas não dei uma explicação legal e ainda tá errado. Talvez deem uns 2pts por pena.