Cônicas I, IME/ITA nível 2

por lookez Ter 6 Ago - 6:32

Sejam os pontos A(2, 0) e A'(-2, 0). Por A', traça-se uma reta variável que intersecta o eixo das ordenadas em B. Por A, traça-se uma perpendicular à reta AB que intersecta a reta A'B em M. Determine o lugar geométrico do ponto M.

Equacionei as retas e consegui colocar todas em função do mesmo coeficiente angular, mas não sei como achar a equação do LG após isso, a interseção das retas A'B e AM no ponto M não me leva a nada. Como resolver?

Gabarito:

por **Elcioschin** Ter 6 Ago - 11:23

~~Equação da reta r que passa por A'(-2, 0) e tem coeficiente angular m:~~

~~y - yA' = m.[x - xA'] ---> y - 0 = m.[x - (-2)] ---> y = m.x + 2.m ---> I~~

~~Equação da reta s que passa por A(2, 0) e tem coeficiente angular m' = -1/m:~~

~~y - yA = m'.[x - xA] ---> y - 0 = (-1/m).(x - 2) ---> y = - x/m + 2/m ---> II~~

~~Coordenadas do ponto M(xM, yM):~~

~~I = II ---> m.x + 2.m = - x/m + 2/m ---> m.x + x/m = 2/m - 2.m ---> *m ---> m².x + x = 2 - 2.m²~~

~~2.m² + m².x = 2 - x ---> (2 + x).m² = 2 - x ---> m² = (2 - x)/(2 + x) ---> III~~

~~I ---> y = m.x + 2.m ---> y = m.(x + 2) ---> y² = m².(x + 2)² ---> IV~~

~~Substitua III em IV e chegue numa equação em função de x² e y²~~

~~Por favor, confira as contas.~~

Solução não válida.

por lookez Ter 6 Ago - 13:10

Mestre, do jeito que o senhor fez conferi as contas e chega-se a uma circunferência x² + y² = 4, discordando do gabarito. O senhor considerou a reta A'B perpendicular a AM, mas em minha interpretação o enunciado diz que a reta AB é perpendicular a AM, então na verdade existem 3 retas no problema (A'B, AB e AM). Estou pensando errado? Ou talvez tenha algo de errado na questão, seja no enunciado ou no gabarito.

Minha interpretação:

por lookez Ter 6 Ago - 15:04

Consegui resolver a questão com essa interpretação, em breve posto aqui aos interessados.

EDIT: Utilizando o desenho acima como referência..

reta A'B: y = m(x+2)
reta AB: y = -m(x-2)
reta AM perpendicular à AB: y = (1/m)(x-2)

Interseção de A'B e AM no ponto M:

m(x+2) = (1/m)(x-2) --> m² = (x-2)/(x+2) [I]

Elevando a equação da reta A'B ao quadrado e substituindo [I]:

y² = m²(x+2)² --> y² = (x-2)(x+2)²/(x+2) --> y² = x² - 4

Assim encontramos a equação da hipérbole x² - y² = 4

por **Elcioschin** Qua 7 Ago - 17:58

Você está certo, caro lookez: eu interpretei errado o enunciado, como se a reta por A fosse perpendicular a A'B e não o correto que é perpendicular a AB.
Vou "remover" minha solução, tachando-a.